Weil teorema acerca de los mapas de un grupo discreto a una Mentira grupo.

Question

Vamos K ser un grupo (con la topología discreta), G sea una Mentira grupo. Deje $\operatorname{Hom}(K,G)$ ser el espacio de todo el grupo homomorphisms de K a G. Esta es una subvariedad cerrada de el espacio de todos los mapas de los generadores de K a G, y, como tal, tiene una topología.

André Weil del papel "En los diferentes Subgrupos de la Mentira Grupos" demuestra que un importante subconjunto $U \subset \operatorname{Hom}(K,G)$ está abierto. U se define como el conjunto de todos los homomorphism $K\to G$ de manera tal que el homomorphism es inyectiva, la imagen es discreto, y el cociente $G/image(K)$ es compacto.

Preguntas:

1. ¿Qué sucede si se quita la condición de que el cociente es compacto?

2. Frecuencia/¿y dónde se enseña? ¿Qué tipos de libros sería, ¿qué tipo de cursos que tienen? Esto se ve como un resultado básico que se podría enseñar en cualquier lugar, pero es completamente nuevo para mí (no es que yo sepa mucho acerca de la teoría de la representación). mientras Weil papel afortunadamente parece muy legible, no podía encontrar fácilmente en cualquier otro fuente que tales preguntas.

Motivación:

En el caso de que $K=\pi_1 (S)$ es el grupo fundamental de una superficie y $G=PSL_2(\mathbb R)$, el espacio de $\operatorname{Hom}(K,G)$ está muy estrechamente relacionado con el Teichmuller espacio de S. Cada superficie de Riemann es un cociente de $PSL_2(\mathbb R)$ por un subgrupo discreto. Así, para un elemento de $\operatorname{Hom}(K,G)$, el cociente $G/image(K)$ corresponde a una superficie de Riemann y los datos de la actual mapa de $K\to G$ da una marca en ella.

No todos los homomorphism $K\to G$ corresponde a un punto de Teichmuller espacio. Por ejemplo, el mapa que envía todos los de la K a la identidad es, claramente no es bueno, como el cociente $K/G$ no es topológicamente el mismo que el de la superficie S. Sin embargo, si el mapa es inyectiva y la imagen de K en G es discreto, todo estará bien. Así, del teorema de Weil básicamente dice que el Teichmuller espacio de S es un subconjunto abierto de $\operatorname{Hom}(\pi_1(S),PSL_2(\mathbb R))$.

Sin embargo, desde Weil teorema requiere el cociente para ser compacto, esto no funciona si S es un no-compacto de superficie de Riemann. Me pregunto cuánto más difíciles de la vida, se convierte en este caso.

Descargo de responsabilidad/Otra pregunta:

El de arriba tiene una pequeña mentira en ella. Para obtener el Teichmuller espacio, usted realmente necesita para mirar el cociente $\operatorname{Hom}(K,G)/G$ donde G actúa en $\operatorname{Hom}(K,G)$ por la conjugación de la diana. En el caso de superficies compactas, esto no debería estropear el hecho de que el subconjunto abierto; esto parece ser el resultado de William Goldman, pero no tengo la referencia exacta. Si se puede decir nada acerca de esto, se lo agradecería demasiado.

Muchas gracias!

Answer 1

Creo que

a) un buen lugar para empezar es leer las páginas 60 a 72 de Misha Kapovich del libro "Hiperbólico colectores y grupos discretos".

b) el contexto adecuado para la pregunta 1, es considerar la relativa a la representación de las variedades (página 62 en el libro citado arriba).

Answer 2

Algunos tangencial comentarios:

$\textrm{PSL}_{2} \mathbb{R}$ es de 3 dimensiones, se puede obtener una superficie de Riemann mediante la adopción de un entramado $\Gamma$ $\textrm{PSL}_2\mathbb{R}$ y tomando el doble cociente $\Gamma \backslash \textrm{PSL}_2\mathbb{R} / \textrm{SO}(2)$. (Que es, es $\Gamma \backslash \mathbb{H}^2$ donde $\mathbb{H}^2$ es el plano hiperbólico.) Pero esto es compacto iff $\Gamma \backslash$ $\textrm{PSL}_2\mathbb{R}$ es, desde $\textrm{SO}(2)$ es compacto.

Si su superficie de Riemann no es compacto pero finito de tipo, entonces cuando uniformize, la métrica hiperbólica completa tendrá infinitas cúspides en las perforaciones. Esto significa que su representación $\Gamma\to$$\textrm{PSL}_2\mathbb{R}$ debe enviar los elementos $\gamma\in\Gamma$ correspondiente a los bucles alrededor de las perforaciones en la parabólica elementos de $\textrm{PSL}_2\mathbb{R}$. Poner esta restricción en una representación de la fuerza el cociente tener finito de volumen y, a continuación, usted tiene el mismo teorema de que la discreta fieles representaciones están abiertas en la representación de la variedad.

También puede buscar en la Sección 4 de Peter Shalen del papel "Representaciones de la 3-variedad de grupos". Para las representaciones de hiperbólico 3-colector de grupos en $\textrm{PSL}_2\mathbb{C}$ hemos Mostow rigidez, que dice que cualquier dos tarjetas fieles representaciones son conjugado; por lo tanto la adecuada subpace de $\textrm{Hom}(\Gamma,\textrm{PSL}_2\mathbb{C})/\textrm{PSL}_2\mathbb{C}$ es sólo un punto (en marcado contraste con el caso de la superficie de grupos que se atribuyen a Goldman). Pero usted todavía tiene algebraica de las deformaciones en el carácter de la variedad en el caso de los colectores con cúspides, y estos fueron analizados por Thurston. En particular, Shalen dice que Thurston generalizada Weil resultados para finito de volumen cusped hiperbólico 3-variedades, mediante la imposición de la condición arriba mencionada, que la cúspide de subgrupos mapa para parabólico subgrupos de $\textrm{PSL}_2\mathbb{C}$.