Cualquier número natural es mayor que o igual a su producto de los dígitos.

Question

Yo fue al azar pensando y me topé con esta pregunta en mi mente. Yo estaba pensando en números, y he observado que un número es mayor o igual que el producto de los dígitos en muchos casos. Estaba yo pensando que esto es cierto para todos los números naturales o de sólo un par de casos? Por favor, ayudar.

Answer 1

Deje que $k$ ser el número de dígitos, y dejar que $a$ ser el primer dígito (se asume que $a>0$). A continuación, el producto de los dígitos es acotada arriba por $a\times 9^{k-1}$. El valor de la cifra en sí es acotado abajo por el valor total de que el primer dígito: $a\times 10^{k-1}$.

Answer 2

$\begin{eqnarray} {\bf Sugerencia} & & un + 10\ b + 10^2 c + 10^3 d\\ & = & +\color{#c00}{10}(b+\color{#c00}{10}(c+\color{#c00}{10}d))\\ &\ \ge\ & un+\ \color{#c00}a\ (b +\ \color{#c00}b\ (c+\ \color{#c00}c\ d))\quad\ \ {\rm por}\ \ \ \ color{#c00}{10 > a,b,c}\\ & = & +\ a\,\ b + a\ b\ c+ abcd\ \ge\ abcd \end{eqnarray}$

Answer 3

(Nota: Esto no es formal, matemático de la prueba, sólo una manera de pensar acerca de ello. IANAM)

Echemos un vistazo a la número 12: un buen número de los que siempre paga sus impuestos en tiempo y ayuda a una anciana a cruzar la calle. 12 no digo esto, porque su madre le enseñó a ser educado, pero él compone de dos componentes: 12 = 1*10 + 2

Ahora echemos un vistazo a las 12 del buen amigo 26. Él es también el resultado de dos componentes: 26 = 2*10 + 6.

Como un último ejemplo, vamos a echar un vistazo a su larga primo perdido 794, que exhibe el mismo comportamiento: 794 = 7*100 + 9*10 + 4.

Podemos ver que el producto de los números que están hechos de es menor que la de ellos mismos:

• 12 > 1*2
• 26 > 2*6
• 794 > 7*9*4

La razón de esto se revela cuando se ignore el consejo de 12 de la madre y la mirada a lo que estamos hechos. Como vimos, uno de los 12 componentes es 1*10. Ya que no hay tales dígitos como 10, todos de la 10+x familia (donde x es un dígito) será mayor que el producto de sus dígitos, debido a que el número en sí exhibe una multiplicación más grande que cualquier dígito.

Vamos a ampliar esta sea más formal. Un número en nuestro sistema decimal se parece a esto:

$a*10^n + b*10^{(n-1)} + ... + z*10^0$

Podemos ver nuestro dígitos de aquí, ellos son a, b, ... z. Mirando a su producto:

$a * b * ... * z$

Y podemos ver que en la primera, que está siendo multiplicada por cosas mucho más grandes que ellos.

En conclusión, esto tiene sentido debido a que nuestro sistema decimal funciona mediante la multiplicación de dígitos por potencias de 10. Ningún dígito puede ser más grande que la multiplicación (y el número es la suma de estas multiplicaciones), por lo que es lógico que un número es mayor o igual que el producto de sus dígitos.

Answer 4

Vamos k ser el número de dígitos, y un_k-1 un_k-2 .... un₀ son los dígitos del número.

por ejemplo, supongamos que el número es de 265 entonces k=3 , ₂ = 2, ₁=6, ₀ = 5.

A continuación, el producto de los dígitos del número es un_k-1 * _k-2 * ... * ₀

El valor real de número es un_k-1 * 10^k-1 + _k-2 * 10^k-2 +....+un₀ * 10⁰

Comparar producto de los dígitos del número y de la 1ª parte del valor real del número de

un_k-1 * _k-2 * ... * ₀

un_k-1 * 10^k-1

En el producto de los dígitos del número después de que el primer dígito (un_k-1) no son producto de k-1 dígito tal que 0<=dígito<10.

En el valor real de la serie después de que el primer dígito (un_k-1) no son producto de k-1 10.

10^k-1 siempre mayor que el producto de k-1 número en {0-9}.

Por lo tanto,

Si k>1 el número es siempre mayor que el producto de los dígitos del número.

Y si k=1 que no puede encontrar el producto de los dígitos del número porque el producto es operador binario.

Cualquier número natural es mayor que o igual a su producto de los dígitos.