Equivalencias y isomorphisms de corto exacta de las secuencias de

Question

En caso de que sea necesario, estoy trabajando en la categoría de $\mathbf{Ab}$ de abelian grupos. Mi pregunta se refiere a lo que parece ser una extraña forma de visualización de los elementos de la Ext grupo $\mbox{Ext}(A,B)$ de la abelian grupos $A$$B$. La declaración de mi pregunta es al final de este post, pero dos primeras definiciones y algunas anotaciones.

Una de morfismos $\varphi\colon E\rightarrow E'$ de cortas secuencias exactas $$E=0\rightarrow B\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 0$$ and $$E'=0\rightarrow B'\rightarrow G'\rightarrow A'\rightarrow 0$$ of abelian groups is a triple $\varphi=(b,g,a)$ of group homomorphisms $b\colon B\rightarrow B'$, $g\colon G\rightarrow G'$ and $\colon a\rightarrow a'$ making the obvious diagram commute. So, $\varphi$ is an isomorphism precisely when $b, g$ and $$ son isomorphisms.

Decimos que los SESs (corto exacta secuencias) $E$ $E'$ son equivalentes si $B=B'$, $A=A'$ y existe un SES de morfismos $(b,g,a)=\varphi\colon E\rightarrow E'$$b=\mbox{Id}_B$$a=\mbox{Id}_A$. Por el corto de cinco lema, si $\varphi$ es una equivalencia de SESs, entonces es un SES isomorfismo.

Wikipedia dice que las clases de equivalente SESs fija $A$ $B$ están en correspondencia uno a uno con los elementos de la Ext grupo $\mbox{Ext}(A,B)$. Sin embargo, uno se hubiera imaginado que sería más natural para ver los elementos de $\mbox{Ext}(A,B)$ clases de isomorfo SESs con $A$ $B$ fijo. Mi pregunta es, son, en realidad, estas formas equivalentes de la visualización de los elementos de la Ext grupo?

Más precisamente, si $E$ $E'$ son de corto exacta secuencias de abelian grupos con $A=A'$$B=B'$, es cierto que si $E$ es isomorfo a $E'$ $E$ es equivalente a $E'$? (Si esto es cierto, lo hace, a continuación, mantenga pulsado en cualquier exacta categoría?)

Answer 1

La respuesta es no.

Considere la posibilidad de un primer número $p>2$ y el conjunto de $$ E: \quad 0 \longrightarrow \mathbb{Z} \desbordado{\cdot p}\longrightarrow \mathbb{Z} \desbordado{\pi}\longrightarrow \mathbb{Z}/p \longrightarrow 0 $$

$$ E': \quad 0 \longrightarrow \mathbb{Z} \desbordado{\cdot p}\longrightarrow \mathbb{Z} \desbordado{\cdot 2 \circ \pi}\longrightarrow \mathbb{Z}/p \longrightarrow 0. $$ Aquí el mapa de $\pi$ es el estándar de proyección, y $\cdot 2 \circ \pi$ es la proyección canónica seguido por el grupo de automorphism de la multiplicación por dos de $\mathbb{Z}/p$.

Es evidente que existe una isomorfismo de SES, sin embargo se puede comprobar que no existe una equivalencia: vamos a utilizar su notación para los mapas de $b,g,a$ y supongamos que es una equivalencia. Desde $g$ debe ser un isomorfismo, que es la multiplicación por -1 o la identidad. Sin embargo, desde la $b= id_{\mathbb{Z}}$, nos encontramos con $g=id_{\mathbb{Z}}$. Pero entonces estamos en problemas, ya que los mapas de la derecha no conmutan.

Hay más extensiones de $\mathbb{Z}/p$ $\mathbb{Z}$ hasta equivalencia, a continuación, hay hasta isomorfismo, creo recordar que hay $p$ de la primera clase (como el anterior y con $2$ ser cualquier número entre 1 y $p-1$, además de la división de extensión), y sólo dos de la segunda clase, pero estos números podrían ser incorrectos.

Por favor, hágamelo saber si esto fue la respuesta que estabas buscando!

Primera respuesta original, incorrecta: Contraejemplos no son difíciles de encontrar. Tomar, por ejemplo, dos copias de la división de la secuencia exacta $$ 0 \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow 0 $$ y todos los mapas $b,g,a$ multiplicación por $-1$. Claramente $A=A'$ $B=B'$ y es un isomorfismo de SES, pero no una equivalencia.

En mi clase de álgebra homológica, tuve una similar observación; luego, el maestro decidió decir ultraisomorphism para lo que ustedes llaman la equivalencia. (Él es muy divertido y un gran maestro, pero dejando eso de lado)

La filosofía es la siguiente: una breve secuencia exacta que se llama una extensión de $C$ bt $A$ (o al revés, todo el mundo siempre se olvida) y uno está interesado en las posibles maneras de construir tal extensión. Viendo los grupos de $A$ $C$ fijo de bloques de construcción, que viene como ninguna sorpresa que no desea cambiar ningún modo, ni siquiera mediante un isomorfismo.

Answer 2

He estado pensando acerca de este mismo tema últimamente, y una cosa que ha aclarado que es de recordar que el $\operatorname{Ext}(\bullet, \bullet)$ es un bifunctor, como $\operatorname{Hom}(\bullet, \bullet)$. Así que si teníamos un mapa entre el corto exacta secuencias que era la identidad en $B$, pero no en $A$, luego de que la no-identidad del mapa ( $\varphi$ ) $A$ debe, en general, inducir una no-identidad endomorfismo $ \operatorname{Ext}(\varphi,B)$ on $\operatorname{Ext}(a,B)$.