Cuña de producto puro

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial de $\dim n$$K$. Deje $P$ ser el conjunto de todos los productos puros de la forma $v_1 \bigwedge v_2$. Cómo probar que existe una correspondencia entre la dimensiones de los subespacios en $P$ y las dos dimensiones de los subespacios de $V$.

Tratar: la correspondencia es: subespacio generado por $v_1 \bigwedge v_2$ <\begin{array}{lcl} k &=& u+a_1+a_2+b_3=u+a_1+a_3+b_2=u+a_2+a_3+b_1,\\ k-1 &=& u+a_1=u+a_2=u+a_3 \end--> subespacio generado por $(v_1,v_2)$. Me mostró que, subespacio generado por $(v_1,v_2)$ ------> subespacio generado por $v_1 \bigwedge v_2$ está bien definido. No puedo demostrar que la inversa de la flecha está bien definido. Por favor, ayudar.

Answer 1

$P$ es estable por la multiplicación por elementos del grupo multiplicativo $K^\times$, y por lo que es suficiente para producir un bijection entre el $K^\times$de las órbitas de los no-cero elementos de $P$ y 2-d de los subespacios de $V$. En lo que sigue, yo asumo todos los conceptos básicos de álgebra multilineal.

Ya ha definido una función de candidato, el envío de $K\{v_1,v_2 \}$ $K^\times$ órbita de $v_1 \wedge v_2$. Este mapa es surjective desde cualquier no-cero de cuña $v_1 \wedge v_2$ $v_1$ $v_2$ linealmente independientes. Queda por demostrar que es inyectiva. Así que vamos a suponer que $v_1 \wedge v_2=x(w_1 \wedge w_2)$ para algunos no-cero $x \in K^\times$. De ello se desprende que $v_1 \wedge w_1 \wedge w_2=0$, y, por tanto, $v_1 \in K\{w_1,w_2\}$ (considero que esta afirmación parte de los "fundamentos" de álgebra multilineal, pero entiendo que soy raro aquí, así que voy a incluir una prueba de boceto debajo de todos modos). Por simetría $v_2 \in K\{w_1,w_2\}$, y ahora lo que sigue es que $K\{v_1,v_2\}=K\{w_1,w_2\}$.

La prueba de que $v_1 \wedge w_1 \wedge w_2=0$ implica $v_1$ en el lapso de $w_1$$w_2$: Podemos completar $w_1,w_2$ a una base de $V$. Escribir $v_1=\sum a_i w_i$ y calcular $$0=v_1 \wedge w_1 \wedge w_2=\sum_{i=3}^n a_i w_i \wedge w_1 \wedge w_2.$$ Ahora los vectores en el RHS son linealmente independientes, lo que implica la afirmación.