Finito de dimensiones de los subespacios de normativa espacios vectoriales son sumandos directos

Question

Aquí es un problema en el análisis funcional de Folland del libro:

Si $\mathcal{M}$ es finito-dimensional subespacio de una normativa espacio vectorial $\mathcal{X}$, entonces no es un subespacio cerrado $\mathcal{N}$ tal que $\mathcal{M}\cap \mathcal{N} = 0$$\mathcal{M}+\mathcal{N} = \mathcal{X}$.

He probado el siguiente enfoque: Estoy tratando de definir un mapa de proyección $\pi_{\mathcal{M}}$$\mathcal{X}$$\mathcal{M}$, que será continua y, por tanto, de tomar el inverso de cualquier conjunto cerrado daría un conjunto cerrado en $\mathcal{X}$. Estoy confundido acerca de cuál es la proyección del mapa. Por favor, sugiera algunas enfoque.

Answer 1

Deje $\{e_1, ..., e_n\}$ ser una base para $\mathcal M$. Cada $x \in \mathcal M$ tiene entonces una representación única $x = \alpha_1(x)e_1 +...+ \alpha_n(x)e_n$. Cada una de las $\alpha_i$; es una funcional lineal continua en $\mathcal M$ (lineal mapa de espacio de dimensión finita es siempre continua), que se extiende a un miembro de $\mathcal X^*$, por la de Hahn-Banach teorema ($\mathcal X^*$ es el doble de $\mathcal X$). Deje $\mathcal N$ ser la intersección de la nulos espacios de estas exten siones. A continuación,$\mathcal X = \mathcal M\oplus \mathcal N$.