Cuál debe ser el siguiente paso?

Question

Este es un suave, educativos, de pregunta y voy a la bandera que se wiki de la comunidad.

Un poco de fondo, en primer lugar. Estoy en mi último año de pregrado, y yo tomé un curso de postgrado en la categoría de teoría; esta clase realmente me inspiró en un sentido matemático: estoy considerando estudiar este en un nivel de posgrado y la posibilidad de hacer un Doctorado en la categoría de teoría.

La clase cubierto de primaria categoría de la teoría a la primaria topoi/Grothendieck topoi y abelian categorías (si desea conocer el programa, más en detalle, voy a agregar a petición).

Mi pregunta es esencialmente esto: es mi experiencia (o falta de ella) con este tema demasiado estrecho para entender el tipo de decisión que estoy tomando? Quiero decir, me encanta la generalidad y de los conceptos estudiados en la categoría de teoría, porque me dan un enfoque diferente a la de otros sujetos estoy estudiando (primaria geometría diferencial, por ejemplo); no estoy seguro, sin embargo, en cuanto a lo que va a venir: yo no sé realmente lo que el estudio de la categoría de la teoría a un nivel superior implica.

También, me gustaría saber qué libros debo leer para obtener una mejor comprensión de la asignatura. El libro que tienes para la clase fue Categorías para el Trabajo Matemático y también (para el topos de la teoría parte) Poleas en la Geometría y la Lógica.

Realmente espero que yo hice claro, pero si no me acaba de comentario y trataré de explicarlo mejor.

Answer 1

Creo que hay algún tipo de periodicidad en las personas que hacen este tipo de preguntas :)

Sin embargo, no entiendo el punto de tu pregunta, especialmente en

Yo no sé realmente lo que el estudio de la categoría de la teoría a un nivel superior implica.

Quiero decir, si realmente estudiaron algunos de TC, ya has visto que su lenguaje subsume prácticamente cada tipo de Matemáticas (o incluso algunas partes de la Física) se puede estudiar o imaginar a estudiar; puede activar general de teoremas en Diferencial-(Algebraico-) Geométrica de los resultados, se puede dar el caso más general, ámbito en el que desarrollar el álgebra homológica, usted puede hacer Homotopy Teoría en su favorito nivel de abstracción, se puede utilizar (Mac Lane & Moerdijk hacerlo) gavillas en la Lógica, usted puede ver resumen y Álgebra universal de una maravillosa perspectiva... Así no hay manera de que (para mí, otras personas tienen seguramente una mejor intuición de lo que la Categoría de la Teoría del "es") para dar una respuesta única a esta pregunta. El lado bueno es que, para ver que se puede hacer con bastante todo si vas a estudiar "CT en el nivel superior", así como que potencialmente puede hablar todos los idiomas del si "aprender" fundamentos de mover la lengua.

Veo en tu perfil que eres un estudiante italiano de Milán; no estoy muy lejos de allí, viviendo en Padua. A mí me parece que la Categoría de la Teoría (como una rama de las Matemáticas por sí), en Italia, no está muy desarrollado (a decir verdad, yo en serio la esperanza de que alguien va a contradecir a mí!). Es profundamente entrelazadas con dos de los temas que he mencionado antes, a saber, la Lógica y la Geometría Algebraica; los analistas no llegar al punto en "categorifying" sus pensamientos, los físicos apenas saben la definición de una gavilla (en mi experiencia, incluso de un buen colector). En mi opinión esto es debido al hecho de que la CT "apenas puede caminar solo" su camino, necesidades para dar ideas a otras ramas de las Matemáticas, ya que las necesidades de recoger ejemplos en Matemáticas visto como todo un tema.

Como (altamente no-genio de la) estudiante, trabajando desde algunos años en el tema, el más útil consejo que puedo darte es: el que ama a la Categoría de Teoría piensa que las Matemáticas como una sola, enorme sujeto: así que, si quieres/puedes hacer, aprender más Matemáticas se puede ver, en la más amplia gama de temas que pueden llegar a: entonces la Categoría de teoría le dará un montón de ideas. Si se salta este paso, creo que usted se sentirá como un ciego buscando el color de la hierba.

Lo siento por esta gran corriente de la conciencia: de hecho, cualquier respuesta que puedo dar a usted depende en gran medida de su respuesta a la siguiente pregunta:

¿Por qué te gusta CT? ¿Desea utilizar para responder a otras preguntas de matemáticas (por ejemplo, en Geometría, Topología, ...)? ¿Desea alcanzar a través de su lenguaje una idea más precisa de "qué es la Matemática" (por ejemplo esclarecedor su punto de vista de la Lógica o de los fundamentos de las Matemáticas)?

Buena suerte!

Answer 2

Estoy muy en duda de que voy a ser capaz de decir más de lo que tetrapharmakon dijo, sin embargo, quiero decir algo más.

Si se mira un poco verás que en realidad de una categoría teórico son también algebraists, o algebraicas topologists, o algebraica de los geómetras, o lógicos,...

Que no es un caso porque las categorías son los primeros de un modo de pensar, antes de ser un objeto matemático: el punto de adoesn no existe,ll matemáticas es sobre el estudio de las categorías, algebraists estudiar las categorías de álgebras de (aquí el álgebra es la intención en el sentido más amplio), algebraicas topologists el uso de categorías de modelo para el tratamiento de homotopy en forma abstracta, lógicos, modelo de las teorías y de las interpretaciones relacionadas a través de categorías y functors.

El punto es que la categoría y conceptos relacionados son el general (de manera similar a topológica del espacio), lo que, a fin de producir resultados interesantes en la necesidad de centrarse en determinado tipo de categorías (eventualmente demostrar resultados en el más general de los ajustes cuando es posible), este tipo particular de categorías nacieron a partir de problemas concretos en las otras áreas de las matemáticas (en su mayoría de la topología, la geometría, el álgebra y la lógica, pero no la única).

Así que reformular lo que tetrapharmakon dijo que el estudio de la categoría de la teoría es el estudio de las matemáticas en general, no es un caso que muchos de los teóricos de la categoría son algún tipo de sabe-lo-todo de las matemáticas, como Lawvere.

Espero que esta respuesta podría ser de ayuda.