Las rotaciones alrededor de tres ejes no colineales cualesquiera generan $SO(3)$ ?

Question

Supongamos que tenemos tres rotaciones $r_1$ , $r_2$ y $r_3$ en $SO(3)$ . Cada $r_i$ es una rotación alrededor del eje $a_i$ por un múltiplo irracional de $\pi$ .

Cuando se consideran vectores unitarios $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ estos ejes no son colineales (por lo que abarcan $\mathbb R^3$ ).

En $\{r_1,r_2,r_3\}$ generar densamente toda $SO(3)$ ?

Claramente cada $r_i$ genera densamente todas las rotaciones alrededor del eje $a_i$ . Así que mi pregunta se reduce a: componiendo rotaciones sobre tres ejes no colineales, ¿se puede crear cualquier rotación en $SO(3)$ ?

Tenga en cuenta que estos tres ejes no son necesariamente ortogonales.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Ya son suficientes dos rotaciones de este tipo. Tienes rotaciones a través de todos los ángulos alrededor de un eje $a$ así que todo lo que necesitas demostrar es que puedes acercar arbitrariamente cualquier otro eje a $a$ ; entonces puedes usar la conjugación para obtener rotaciones a través de todos los ángulos sobre ese otro eje.

Que esto es posible es quizá más fácil de ver si se representan los ejes por sus intersecciones con la esfera unidad. Supongamos que hay algún conjunto abierto en la esfera unitaria en el que no se puede girar $a$ . Usted puede barrer ese conjunto alrededor de uno de los ejes para obtener todo un anillo que no se puede girar en $a$ . Puedes barrer esa circunferencia alrededor del otro eje para obtener una circunferencia mayor. Repitiendo esto, alternando entre los ejes, se puede llegar a cubrir toda la esfera, contradiciendo la suposición de que no es posible girar el conjunto abierto en $a$ .