¿Qué suele significar la solución en forma cerrada?

Question

Esto está motivado por esta pregunta y el hecho de que no tengo acceso al documento de Timothy Chow What Is a Closed-Form Number? indicado allí por Qiaochu Yuan.

Si una ecuación $f(x)=0$ no tiene una solución en forma cerrada, ¿qué significa normalmente? Añadido: $f$ puede depender (y normalmente lo hace) de parámetros.

Para mí, esto es equivalente a decir que no se puede resolver para $x$ en el sentido de que no hay una expresión elemental $g(c_{1},c_{2},\ldots,c_{p})$ que consista solo en un número finito de polinomios, funciones racionales, raíces, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, valores absolutos, partes enteras y fraccionarias, tal que

$f(g(c_{1},c_{2},\ldots,c_{p}))=0$.

Answer 1

Una solución en forma cerrada es una solución que se puede representar sin usar límites, integrales, sumas infinitas, derivadas. Solo utilizando funciones, sus composiciones y operaciones aritméticas sobre ellas. La clase de funciones permitidas puede variar. Por defecto, generalmente permite funciones elementales más la función Gamma, la función Poligamma, la función zeta de Hurwitz. A veces, funciones de servicio como "parte entera", "valor absoluto", "argumento", "parte real", "parte imaginaria" pueden ser permitidas.