¿Qué suele significar la solución en forma cerrada?

Question

Esto está motivado por esta pregunta y el hecho de que no tengo acceso al documento de Timothy Chow What Is a Closed-Form Number? indicado allí por Qiaochu Yuan.

Si una ecuación $f(x)=0$ no tiene una solución en forma cerrada, ¿qué significa normalmente? Añadido: $f$ puede depender (y normalmente lo hace) de parámetros.

Para mí, esto es equivalente a decir que no se puede resolver para $x$ en el sentido de que no hay una expresión elemental $g(c_{1},c_{2},\ldots,c_{p})$ que consista solo en un número finito de polinomios, funciones racionales, raíces, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, valores absolutos, partes enteras y fraccionarias, tal que

$f(g(c_{1},c_{2},\ldots,c_{p}))=0$.

Answer 1

Yo diría que mucho depende del contexto y de las herramientas que tengas a tu disposición. Por ejemplo, decirle a un estudiante que acaba de dominar los trucos habituales de integrar funciones elementales que

$$\int\frac{\exp{u}-1}{u}\mathrm{d}u$$

y

$$\int\sqrt{(u+1)(u^2+1)}\mathrm{d}u$$

no tienen soluciones en forma cerrada es simplemente la forma elegante de decir "no, no puedes hacer estas integrales aún; no tienes las herramientas". Sin embargo, para un científico que utiliza integrales exponenciales y elípticas, sí tienen formas cerradas.

De manera similar, cuando decimos que las ecuaciones no lineales, ya sean algebraicas como $x^5-x+1=0$ o trascendentales como $\frac{\pi}{4}=v-\frac{\sin\;v}{2}$ no tienen soluciones en forma cerrada, lo que realmente estamos diciendo es que no podemos representar las soluciones en términos de funciones que conocemos (¿y amamos?). (Para el primero, sin embargo, si conoces funciones hipergeométricas o theta, entonces sí tiene una forma cerrada).

Creo que es justo decir que mientras no hayamos visto la solución a una integral, suma, producto, fracción continuada, ecuación diferencial o ecuación no lineal con la suficiente frecuencia en aplicaciones como para darle un nombre y notación estándar, simplemente pasamos y decimos "no, no tiene una forma cerrada".

Answer 2

Para comprender mejor las formas cerradas, es posible que desee familiarizarse con lo que se llama Álgebra Diferencial. Al igual que la teoría de números se basa en estructuras abstractas como anillos, campos, ideales, etc. para expresar raíces de ecuaciones algebraicas utilizando números elementales, de manera similar hay un aparato paralelo para expresar funciones (es decir, soluciones de ecuaciones diferenciales) utilizando anillos diferenciales, campos, ideales llamados Álgebra Diferencial. Es este mecanismo subyacente el que define qué funciones pueden ser expresadas como "formas cerradas".

Paralelos:

1. Similar a los campos de descomposición para ecuaciones algebraicas, hay una teoría de Galois paralela con extensiones de Picard-Vessiot y demás.
2. Similar a la correspondencia entre subcampos de campos numéricos y subgrupos de Galois, en el aspecto diferencial, hay una correspondencia entre subcampos diferenciales y subgrupos de grupos algebraicos.
3. Así como las ecuaciones algebraicas pueden determinarse como solubles por radicales, de manera similar las ecuaciones diferenciales lineales pueden determinarse como solubles por exponenciales, funciones Liouvillianas, etc. Hay una torre ascendente de campos diferenciales que se pueden construir.

Hay más... No soy experto en este campo del álgebra diferencial pero si quiere algunas referencias gratuitas, vea

1. Seiler Álgebra Computacional y ecuaciones diferenciales
2. Van der Put Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales, grupos algebraicos y álgebras de Lie
3. Artículos de Michael F. Singer son buenos. Vea, por ejemplo, "Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales".
4. Consulte el Seminario Kolchin en Álgebra Diferencial

Answer 3

Vea los enlaces a continuación para el artículo de Timothy Chow.

a)
[Borwein/Crandall 2013] intenta dar una respuesta.
$\ $

b)
Supongamos que se debe resolver $f(x)=0$ para $x$.
Si la ecuación $f(x)=0$ no tiene una solución en forma cerrada, la ecuación no tiene una solución que pueda expresarse como una expresión en forma cerrada.
Una expresión matemática es una expresión en forma cerrada si contiene solo un número finito de constantes, funciones explícitas, operaciones y/o variables.
Con sentido, todas las constantes, funciones y operaciones en una expresión en forma cerrada dada deben provenir de conjuntos dados.

c)
Digamos que una inversa (parcial) en forma cerrada ($f^{-1}$) es una inversa (parcial) (= función inversa) cuyo término de función puede expresarse como una expresión en forma cerrada.
Debido a $f(x)=0$ y a la definición de una inversa (parcial) $f^{-1}(f(x))=x$, se cumple lo siguiente: $f^{-1}(f(x))=f^{-1}(0)$, $x=f^{-1}(0)$. Y por lo tanto: Si una ecuación $f(x)=0$ no tiene una solución en forma cerrada, la función $f$ no tiene una inversa parcial en forma cerrada, o existe una inversa parcial en forma cerrada pero no está definida para el argumento $0$ del lado derecho de la ecuación. Esto significa que $x$ no puede ser aislado en solo un lado de la ecuación
- aplicando una inversa parcial en forma cerrada de $f$,
- solo aplicando las inversas parciales en forma cerrada y las operaciones inversas de las funciones en forma cerrada y sus respectivas operaciones contenidas en la expresión $f(x)$.

La existencia de una inversa parcial en forma cerrada es un criterio suficiente pero no necesario para la existencia de una solución en forma cerrada.

d)
Lin y Chow preguntan por números en forma cerrada. Un número en forma cerrada es un número que puede generarse a partir de un número racional mediante solo funciones en forma cerrada.

e)
Las funciones elementales son un tipo especial de funciones en forma cerrada. Los números elementales de Lin y los números exponenciales-logarítmicos de Chow son tipos especiales de números en forma cerrada.
Si $f$ es una función elemental, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- $f$ se genera a partir de su única variable de argumento en un número finito de pasos realizando solo operaciones aritméticas, funciones de potencia con exponentes enteros, funciones de raíz, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones hiperbólicas y/o funciones hiperbólicas inversas.
- $f$ se genera a partir de su única variable de argumento en un número finito de pasos realizando solo operaciones aritméticas, exponenciales y/o logaritmos.
- $f$ se genera a partir de su única variable de argumento en un número finito de pasos realizando solo funciones algebraicas explícitas, exponenciales y/o logaritmos.
Mientras Ritt y Lin permiten funciones algebraicas explícitas e implícitas, Chow restringe las operaciones algebraicas aprobadas a las funciones algebraicas explícitas, que son las operaciones aritméticas.
$\ $

[Borwein/Crandall 2013] Borwein, J. M.; Crandall, R. E.: Closed Forms: What They Are And Why We Care. Notices AMS 60 (2013) (1) 50-65

[Chow 1999] Chow, T. Y.: What is a Closed-Form Number? Amer. Math. Monthly 106 (1999) (5) 440-448 o https://arxiv.org/abs/math/9805045

[Lin 1983] Ferng-Ching Lin: Schanuel's Conjecture Implies Ritt's Conjectures. Chin. J. Math. 11 (1983) (1) 41-50

[Risch 1979] Risch, R. H.: Algebraic Properties of the Elementary Functions of Analysis. Amer. J. Math 101 (1979) (4) 743-759

[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans. Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90

Answer 4

Normalmente se hace referencia a la "forma cerrada" como una solución que involucra funciones que conocemos comúnmente. Esta clase de funciones varía de un problema a otro, de un campo a otro. Por ejemplo, uno podría decir que $x^5-x+1=0$ no tiene una solución en forma cerrada porque $x$ no se puede resolver en términos de radicales. Sin embargo, se puede resolver en términos de radicales Bring. Aquí, forma cerrada podría significar "una combinación de números racionales, adición, multiplicación y radicales".

Uno podría extender "forma cerrada" para significar soluciones que involucran funciones elementales, que son funciones compuestas de una composición finita de operaciones aritméticas, exponenciales, logaritmos, constantes y soluciones a ecuaciones algebraicas. Bajo esta definición de forma cerrada, $x^5-x+1=a$ tiene una solución en forma cerrada ya que es una ecuación algebraica.

Sin embargo, al entrar en cálculo, te darás cuenta de que hay muchas integrales que no puedes resolver. Por ejemplo,

$$\int\sqrt{1+x^3}~\mathrm dx,~\int e^{-x^2}~\mathrm dx$$

Estas son antiderivadas de funciones elementales, aunque ellas mismas no son elementales. Se pueden considerar estas integrales como "forma cerrada" al pertenecer a la clase de funciones liouvillianas, que son funciones elementales y sus antiderivadas.

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Por lo tanto, a medida que tus problemas se vuelven más difíciles y tu campo cambia, la forma cerrada tendrá un significado diferente para ti (y no se limitará a lo anterior).

Para la mayoría de los propósitos, creo que forma cerrada generalmente se entiende como función elemental.

Answer 5

Mi opinión sobre esta pregunta, desde un punto de vista práctico:

En el mundo de las computadoras, no hay "formas cerradas".

"Forma cerrada" es una etiqueta de los matemáticos para ciertas expresiones matemáticas que considera "elementales". Más específicamente, es una forma de decir, "No nos importan los algoritmos para evaluar esta expresión".

Lo que hace que una "forma cerrada" sea que los pasos algorítmicos involucrados en su cálculo se consideran en la manipulación algebraica como un paso atómico.

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Un ejemplo clásico de esto es el factorial, $n!$. Estrictamente hablando, la definición implica una recurrencia. Sin embargo, surge tan a menudo en la práctica que los matemáticos lo etiquetan como una "forma cerrada" en sí misma.

Ahora, tal vez algún experto en algoritmos matemáticos ingenioso podría encontrar una manera más eficiente de calcular el factorial de valores arbitrarios de $n$, que no implican realizar realmente $n-1$ pasos de multiplicación. El punto que estoy haciendo es que la etiqueta "forma cerrada" no depende de que se conozca ese mejor algoritmo, o incluso de que sea posible. Solo significa, "Estamos considerando el algoritmo para calcular esto como no una pregunta crucial (para el texto actual)."

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De hecho, si nos adentramos en ello, $f(x)=x+1$ es la forma cerrada definitiva. El operador de "incremento" unario.

Agregar números más grandes (el operador "suma" binario) se puede ver como una "recurrencia" o aplicación repetida del operador "incremento".

La multiplicación en sí misma es la aplicación repetida del operador "suma", y de manera similar la exponenciación es una aplicación repetida de la multiplicación.

Pero todos estos se consideran como "formas cerradas". El concepto no es fijo.

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Para citar Concrete Mathematics:

Podríamos dar una definición aproximada así: Una expresión para una cantidad f(n) está en forma cerrada si podemos calcularla usando como máximo un número fijo de operaciones estándar "bien conocidas", independientemente de n. Por ejemplo, 2n -1 y n(n + 1)/2 son formas cerradas porque solo involucran adición, sustracción, multiplicación, división y exponenciación, de formas explícitas.

El número total de formas cerradas simples es limitado, y hay recurrencias que no tienen formas cerradas simples. Cuando estas recurrencias resultan ser importantes, porque surgen repetidamente, agregamos nuevas operaciones a nuestro repertorio; esto puede extender enormemente la gama de problemas resolubles en forma cerrada "simple". Por ejemplo, el producto de los primeros n enteros, n!, ha demostrado ser tan importante que ahora lo consideramos una operación básica. La fórmula ‘n!’ está, por lo tanto, en forma cerrada, aunque su equivalente ‘1·2·. . .·n’ no lo está.