Cómo obtener el $y$

Question

La pregunta fue escrito con el oscuro azul de la pluma. Y me trató de resolver esta cuestión. Obtuve $x$ como se encuentra por debajo. Pero no puedo obtener el $y$ por Favor, muéstrame cómo hacer esto.

Por el camino, $\gamma (t)$ no pueden ser claramente legible. Así que, me escribió de nuevo.

$$\gamma (t)=( \cos ^2 (t)-1/2, \sin(t)\cos (t), \sin (t))$$

Gracias por su ayuda.

-lo siento por no escribir con MathJax. -

Answer 1

Sugerencia: Para obtener una imagen más clara, multiplicar $\gamma$$2$. A continuación, utilice el doble ángulo de fórmulas.

Para referencia, el doble ángulo de identidades son como sigue:

1. $\sin (2x)=2\sin x \cos x$

2. $\cos(2x)=\cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$.

Answer 2

A partir de su trabajo, $$x^2+y^2=\frac{1}{4} \Rightarrow y^2=\frac{1}{4}-x^2,$$ y $$x=\cos^2 t -\frac{1}{2}.$$

La sustitución de la última en la primera produce \begin{align*} y^2 &=\frac{1}{4}-x^2 \\ &=\frac{1}{4}-\left( \cos^2 t - \frac{1}{2} \right)^2 \\ &=\frac{1}{4}-\left( \cos^4 t - \cos^2 t + \frac{1}{4} \right) \\ &=\cos^2 t - \cos^4 t \\ &=\cos^2 t\left( 1-\cos^2 t \right) \\ &=\cos^2 t \sin^2 t \\ \Rightarrow y &= \sin t \cos t, \end{align*} como era su intención.