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El cálculo de la homología de una botella de Klein (Utilizando sólo los axiomas)

así que vamos K el de la Botella de Klein. Soy perfectamente consciente de cómo calcular por homología singular, el uso de algunas propiedades de las cadenas, y una descripción explícita de la diferencial. Ese no es mi problema.

Echemos un (no reducido) homología de la teoría y supongamos que tenemos que $$h_n(S^1,\emptyset)=\mathbb{Z}$$ if $n=0,1$ and otherwise $0$. I want to calculate the homology of the Klein Bottle using only this fact, and that the functors $h_n$ satisfy the Eilenberg–Steenrod axioms. On page 109 of Switzer's book on Algebraic Topology, he shows how this can be done. The idea is to cut the klein bottle $K$ into two cylinders $a,B$ and that $A \cap B \cong S^1 \amalg S^1$ y el uso de Mayer-Vietoris: $$\cdots \rightarrow h_n(A \cap B, \emptyset) \xrightarrow{\alpha} h_n(A,\emptyset) \oplus h_n(B, \emptyset) \xrightarrow{\beta} h_n(K, \emptyset) \xrightarrow{\Delta'} \cdots$$ y que $h_n(A\cap B, \emptyset) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, $h_n(A,\emptyset) =\mathbb{Z}$, $h_n(B,\emptyset) = \mathbb{Z}$. Uno puede mostrar que el mapa de $\beta$ está representado por una matriz de $$\pmatrix{1 & 1 \\ 1 & v'_\ast}$$ donde $v':S^1 \rightarrow S^1$ es el mapa revertir la orientación. Switzer, a continuación, los estados que, $v_\ast:H^1(S^1,\emptyset) \rightarrow H^1(S^1,\emptyset)$$-1$$H^0(S^1,\emptyset) \rightarrow H^0(S^1,\emptyset)$$1$. Ahora, aquí está mi pregunta (por fin): ¿Cómo podemos determinar el signo del mapa? Es fácil ver que el mapa es $\pm 1$, pero el signo es más misterioso...

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user3326293 Puntos 4

Considere la posibilidad de un mapa de $f\colon S^1 \to S^1 \vee S^1$ que se asigna la mitad superior de un círculo para el primer sumando en la orientación de la preservación de la forma, y la mitad inferior para el segundo círculo en la orientación de revertir. También denotar $i_1$ $i_2$ inclusiones de $S^1$ $S^1 \vee S^1$como dos sumandos. Composición de $f$ con mapa plegado $p\colon S^1\vee S^1 \to S^1$ (ambos sumandos en la orientación de la preservación de la forma), evidentemente es homotópica a una constante mapa. Buscando en $H_1$ tenemos $\mathbb{Z} \xrightarrow{f_*} \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \xrightarrow{p_*} \mathbb{Z}$.

$p_*$ se suma: $S^1 \xrightarrow{i_1} S^1\vee S^1 \xrightarrow{p} S^1$ es la identidad (del mismo modo para $i_2$). $i_1$ induce $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$, para asegurarse de que es una inclusión de la primera sumando podemos utilizar la connaturalidad de la exacta secuencias de un mapa de $(S^1, *) \xrightarrow{i_1} (S^1\vee S^1, \mathrm{im}\, i_2)$. Ahora sabemos $p_*(1, 0) = 1$$p_*(0, 1) = 1$, por la linealidad $p_*$ es de adición.

Por lo tanto $f_*$ mapas de $1\in H_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ a algún par de $(x, -x)\in H_1(S^1\vee S^1)$. Para averiguar lo $x$ es, considerar la composición de la $S^1 \xrightarrow{f} S^1 \vee S^1 \to S^1$ en el segundo mapa se derrumba segundo sumando a un punto (que induce la proyección en una segunda coordenada en $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ también, por ejemplo, por connaturalidad exacta de secuencias de pares). Por la construcción de este mapa es homotópica a la identidad. Similarmente para el segundo sumando en $S^1\vee S^1$ conseguir que la orientación de la inversión mapa induce $-1$ de homología.

Eso es bastante incómodo para leer, pero en realidad muy sencillo.

ACTUALIZACIÓN

Como se ha mencionado en los comentarios, aquí está la prueba revertir la orientación induce la identidad en $H_0$. $* \to S^1$ y $*\to S^1 \to S^1$ (el segundo mapa es la reversión de la orientación) son iguales como los mapas a partir de un punto, por lo tanto inducir el mismo mapa en $H_0$. Si sabemos que la inclusión de un punto base en $S^1$ induce distinto de cero mapa en $H_0$, hemos terminado, ya que automorphism de $H_0(S^1) \cong \mathbb{Z}$ la fijación de un elemento no nulo debe ser la identidad. Para ver esto, el uso de la connaturalidad de largo exacto de secuencias de pares para un mapa de $(S^1, *) \to (*, *)$. La primera conmutativa de la plaza (con la no-relativo $H_0$s) consta de tres asignación de identidad de un punto y un mapa inducida a partir de la inclusión de un punto base, y no se puede conmutar a menos $H_0(*) \to H_0(S^1)$ es una inclusión.

(Respuesta a un comentario: nullhomotopic mapa induce a cero en $H_1$, ya que factores como el mapa de $X \to * \to Y$)

También me parece que $X \hookrightarrow X \vee Y$ induce inclusión para el primer sumando en la homología no debido a functoriality propiedades de largo exacto de las secuencias, pero esto es sólo la forma en que nos identificamos $H_i(X\vee Y)$$H_i(X)\oplus H_i(Y)$. Es decir, nos fijamos en el par $(X \vee Y, Y)$, escribir largo de la secuencia exacta, a continuación, aplicar la escisión de deshacerse de la relación de homología y obtenga $H_i(Y)$ lugar. Después de eso, observamos que un montón de flechas en la larga secuencia exacta admitir dividir y definir el isomorfismo $H_i(X \vee Y) \to H_i(X) \oplus H_i(Y)$ la forma de inclusión de $X$ en una cuña suma es la inclusión en el primer sumando. Por lo tanto algunos de los argumentos por connaturalidad anterior no son necesarios.

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