Prefacio
El núcleo de cualquier noción de integral es una especie de suma ponderada: $$\sum b\mu(A)$$
Dependiendo de si el dominio o el rango se descompone estos dividido en Riemann y Lebesgue del tipo: $$\{A_i\}_{I \in I}: b_i\in fA_i$$ $$\{b_i\}_{I \in I}:A_i=f^{-1}\{b_i\}$$
Con el fin de manejar los tipos de infinito sumas uno puede introducir una noción de convergencia: $$\lim_{\leq}$$ El ingrediente crucial para la unicidad es la dirigida pedido, junto con un espacio de Hausdorff: $$\leq\text{ dirigida}\\ \mathcal{T}\text{ Hausdorff}$$ (Para más detalles, véase la Hausdorffness vs Singularidad.)
(Además, estos dos hechos, a saber, la suma y la convergencia, son los que la debilidad de los conceptos de integral de explotar.)
Para Lebesgue tipo natural noción de convergencia falla; es la simple suma da: $$f:[0,1]\to\mathbb{R}:f(x):=x:\quad\{\sum_{b\in B}b\mu(f^{-1}\{b\})\}_{\# B_0<\infty}=0\qquad B_0\leq B_0':\iff B_0\subseteq B_0'$$ Para Riemann tipo esta sutileza no se plantea, ya que nuestros pies sobre las colecciones de conjuntos en lugar de los elementos. Ese será el punto de partida de este artículo!
La Estrategia Y El Objetivo
La estrategia básica de este artículo es el estudio de la noción de integral de Riemann, de tipo bajo una adecuada noción de convergencia con:
- Topológico de Hausdorff espacio vectorial: $V$
- Medir el espacio de posibles infinito tamaño: $\mu(\Omega)\leq\infty$
- Integral de Riemann tipo: $I(f)=\lim_{\leq}\sum_{A\in\mathcal{A}}f(b)\mu(A)$
El objetivo principal será que implican funciones con los postes y las oscilaciones, mientras que la retención uniformemente continua functionsof la siguiente forma:
- Uniformemente continua: $I(f)\text{ exists}$
- Polos: $f:(0,1]\to\mathbb{R}: f(x):=x^{\alpha>-1}$
- Oscilación: $g:[1,\infty)\to\mathbb{R}: g(x):=\frac{1}{x}\sin(x)$
Definición
Considere la posibilidad de un sigma-finito completa medir el espacio y un espacio de Banach así como el espacio de Banach de las funciones con valores: $$(\Omega,\Sigma,\mu)\text{ and }(E,\|\cdot\|) \text{ and }(\mathcal{F},\ldots)$$
Definir la integral, si es que existe: $$\int f\mathrm{d}\mu:=\lim_{(\Sigma_0,\leq)}\left\{\sum_{(A,a)\in\Sigma_0}\mu(A)f(a)\right\}_{\Sigma_0}$$ con el finito colecciones de distintos subconjuntos medibles de tamaño finito: $$\Sigma_0\subseteq\Sigma: \qquad \#\Sigma_0<\infty\text{ as well as }\mu(A)<\infty\text{ and }A\cap B=\varnothing\text{ for }A\neq B,A,B\in\Sigma_0$$ ser ordenado por el refinamiento y expansión: $$\Sigma_0\leq\Sigma_0':\iff\Sigma_0\dashv\Sigma_0',\Sigma_0\prec\Sigma_0'$$ donde el refinamiento y la expansión se define como: $$\Sigma_0\dashv\Sigma_0':\iff\forall A\in\Sigma_0\exists A'\in\Sigma_0':A\supseteq A'$$ $$\Sigma_0\prec\Sigma_0':\iff\cup_{A\in\Sigma_0}A\subseteq\cup_{A'\in\Sigma_0'}A'$$
De hecho, estos son considerados como etiquetado de las colecciones, pero para una mejor lectura de este es enmascarado: $(A,a)\in\Sigma_0$
Tenga en cuenta también que las colecciones no son necesarios para cubrir la medida del espacio: $\cup_{A\in\Sigma_0}A\subseteq\Omega$
La ordenación de las colecciones es el elegido para dar el resultado correcto: $\int s\mathrm{d}\mu=\sum_{e\in \mathrm{im}s}\mu(s^{-1}\{e\})e$
Interpretación:
Esto puede ser interpretado como la red de funciones simples: $$s_{\Sigma_0}:=\sum_{(A,a)\in\Sigma_0}f(a)\chi_A$$
Lo anteriormente expuesto se lee: $$\int s_{\Sigma_0}\mathrm{d}\mu\to\int f\mathrm{d}\mu$$
Por otra parte para integrar las funciones de la red de simples funciones converge pointwise (prueba?): $$\left(\int s_{\Sigma_0}\mathrm{d}\mu \to \int f\mathrm{d}\mu\right) \Rightarrow \left(s_{\Sigma_0}(\omega)\to f(\omega)\right)$$ (Tenga en cuenta que es reclamado pointwise convergencia en todas partes , más que en casi todas partes.)
Así, surge la pregunta de cómo este tipo de Riemann integral se relaciona con el tipo de Lebesgue la integral por Bochner.
(La diferencia crucial es que este enfoque considera que la red de simples funciones relacionadas con la función bajo consideración, mientras que el enfoque por Bochner considera que algunos de secuencia de funciones simples no necesariamente relacionados con la función bajo consideración.)
Discusión:
Resulta que esta noción de integrabilidad es muy restrictiva.
Una condición necesaria sobre integrabilidad es: $$\exists\mu(N)=0: \|f(\Omega\setminus N)\|<\infty$$
Así, aunque la primera crítica ejemplo no ser disuelto por este concepto: $$f:(0,1]\to\mathbb{R}:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$$ el segundo se disuelve sin embargo: $$g:[1,\infty)\to\mathbb{R}:x\mapsto\frac{1}{x}\sin(x)$$
Especialmente no Lebesgue tipo de integrabilidad implica este tipo de Riemann integrabilidad.
Sin embargo, un resultado positivo se logra en la medida finita espacios.
Una condición suficiente sobre integrabilidad es: $$\ldots$$
Absoluta integrabilidad no implica integrabilidad (ejemplo?).
Con respecto a la convergencia teoremas de la convergencia uniforme teorema sostiene (la prueba?) pero el dominado, monotono y Fatou teorema de convergencia fallar (por ejemplo?).
Resumen:
$$\ldots$$
