Es una función continua, simplemente, una conectada a la función?

Question

Intuitivamente, una función de $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es continua si puede dibujar su gráfica sin tomar el lápiz de la página. Esto sugiere el siguiente teorema:

Un mapa de $f:X \rightarrow Y$ es continua si y sólo si $f$ está conectado en el producto de la topología $X \times Y$.

¿Es esto cierto? Y si no, ¿alguien puede pensar en una premisa adicional o dos que haría es cierto?

Answer 1

No es cierto en general. Una variante evidente de la Topologist de la curva sinusoidal proporciona un ejemplo de una función de $f:\Bbb R\rightarrow \Bbb R$ cuya gráfica está conectado pero no puede ser continuo (en $x=0$).

Sin embargo, este artículo muestra que "es correcto concluir que las funciones reales continuas sobre $\Bbb R$ son las funciones de más de $\Bbb R$ cuyas gráficas, en el plano de la $\Bbb R^2$, son a la vez cerrado y conectado".