Intuitivamente, una función de $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es continua si puede dibujar su gráfica sin tomar el lápiz de la página. Esto sugiere el siguiente teorema:
Un mapa de $f:X \rightarrow Y$ es continua si y sólo si $f$ está conectado en el producto de la topología $X \times Y$.
¿Es esto cierto? Y si no, ¿alguien puede pensar en una premisa adicional o dos que haría es cierto?
No es cierto en general. Una variante evidente de la Topologist de la curva sinusoidal proporciona un ejemplo de una función de $f:\Bbb R\rightarrow \Bbb R$ cuya gráfica está conectado pero no puede ser continuo (en $x=0$).
Sin embargo, este artículo muestra que "es correcto concluir que las funciones reales continuas sobre $\Bbb R$ son las funciones de más de $\Bbb R$ cuyas gráficas, en el plano de la $\Bbb R^2$, son a la vez cerrado y conectado".
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