Tanto Pete-si la mente me llama 'Pete',el Dr. Clark,me disculpo-y Jesse han dado un excelente asesoramiento. Me gustaría meter la cuchara y agregar a mis 2 centavos de dólar sobre el asunto.
En primer lugar,yo también tengo Körner del libro y me gusta muchísimo.El libro de la frecuencia sido atacado,curiosamente,por no ser muy original o creativo en la elección de los temas y la organización. Yo no entiendo esta crítica.Es un libro para un intermedio de pregrado análisis real del curso-cómo creativa podría ser sin derrotar a su propósito?!? Es un gran complemento a poco Rudin y le pide un montón de preguntas profundas Rudin evita. También estoy de acuerdo Gelbaum y Olmstead es una necesidad en su escritorio para un curso de este tipo y ahora que está en Dover,no hay ninguna razón para que no la tienen.
A continuación,me gustaría recomendar una alternativa a Rudin. Sé que los puristas en la audiencia quiere linchar a mí ahora. Por desgracia,el triste hecho de la cuestión es que la mayoría de los estudiantes de hoy en día-especialmente en los Estados unidos-simplemente no son lo que solían ser en términos de disciplina o de fondo de formación. Pero mi objeción es más profundo que eso. Incluso si usted es lo suficientemente afortunado de tener fuertes los estudiantes,que realmente no se de el supuesto uso de Rudin simplemente porque es tan prístina y concisa. Van a ser capaces de hacer todos los problemas,comprender las definiciones y teoremas. Pero apuesto a que la mayoría de ellos salen de la no comprensión *por qué*es necesario construir toda esta maquinaria en el cálculo.Vi una revisión de poco Rudin en Amazon con algunos estudiantes alabando el libro como el Nuevo Testamento de análisis y uno de sus comentarios me dio pausa:" no dejes que la gente a mantenerse alejado de ella con la motivación. La motivación es para los débiles de mente para manejar real de matemáticas. Él no la venta de un coche,Rudin-acaba de hacer el libro y el que aprenderá El Verdadero Camino de la Matemática". O algo a ese efecto. Creo que esta actitud muestra exactamente lo que está mal con el uso del libro, incluso con fuertes estudiantes.
El libro que voy a recomendar que fue escrito-irónicamente-por Charles Chapman Pugh,quien enseñó a los honores curso de análisis en Berkeley durante más de 30 años. Se llama Real, Análisis Matemático y yo cariñosamente se refieren a ella como Rudin Hecho a la Derecha. El libro es presentado en el mismo nivel como Rudin, con ejercicios tan difícil si no es que más.
Entonces, ¿qué tiene de diferente?
En primer lugar,Pugh escribe en un hermoso y coloquial pero muy conciso estilo inmensamente agradable,contiene muchas referencias a las matemáticas de la literatura y, sin embargo, es increíblemente brusco y directo. Hay muy poco de charla.Entonces, ¿cómo es Pugh capaz de ser conciso como Rudin y todavía ser muy informativo y esclarecedor? Pugh tiene un don extraordinario como un libro de texto autor:Él parece saber instintivamente exactamente cómo muchas de las palabras que se necesita para explicar algo,no una palabra más, ni una palabra menos. Por ejemplo,al definir el conjunto de Cantor,se refiere a él como "el Cantor de polvo". Esta frase es muy esclarecedora pictóricamente el conjunto de Cantor por primera vez.Este intencional parsimonia,donde se elige cuidadosamente,pesa y mide cada palabra y cada fase,es una forma en que él lo hace. El otro es el libro está lleno de imágenes-hay, literalmente, una imagen en cada página. Pero lo sorprendente aquí es que ninguna de las fotos son desechables, o el espacio de relleno-cada foto es muy específicamente diseñado para hacer un punto. Por ejemplo,cuando se acredite que en general un espacio métrico,cada bola abierta es un conjunto abierto,lo presenta junto con una imagen de un disco abierto en el plano y de cómo un pequeño abierto pelota puede ser construido en cualquier lugar dentro de una bola abierta. El libro está cargado con bellas imágenes como esa y si Rudin había hecho la mitad de este en su presentación,el libro habría sido de manera mucho más accesible. También cubre ciertos temas infinitamente mejor, a continuación, Rudin-sus capítulos en función de los espacios y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales,teórico de cálculo multivariable y el Lebesgue son infinitamente mejores, a continuación, Rudin.
Corre a la derecha y el fin de este libro para sus estudiantes.Vas a darme las gracias más tarde.Confía en mí.
Por último,para el muy buen consejo dado a usted por Pete y Jesse, me gustaría añadir una cosa más. Yo sugiero que tome un par de conferencias para construir los números reales a partir de los enteros para sus estudiantes. Sí,lo sé-una gran cantidad de analistas ahora están gritando a mí. Pero escúcheme. Creo que una de las razones de las dificultades de los estudiantes con la realización de cálculo de rigor para la primera vez es que no entiendo muy bien las propiedades de los números reales. Oh, por supuesto,conseguir los 10 axiomas,aprenden de ellos y, a continuación, muchos de ellos todavía lucha con derivados de las desigualdades. Esto,en mi opinión,es realmente donde el promedio de estudiante se pierde cuando se hace el análisis por primera vez. No entiendo muy bien la de Cauchy-Schwarz desigualdad o ¿por qué es importante en la determinación de la desigualdad de Triángulo,que en realidad no "get" ¿por qué no hay un número racional entre cualquiera de los 2 reales, ¿por qué existe un entero N > 0 tal que para cualquiera de los 2 reales x y y, Nx > y usted consigue la idea. Después me tomé el tiempo para la construcción de los números reales a partir de cero,nunca he tenido ningún problema para hacerlo. La gran objeción de muchos de los matemáticos es que la derivación se comía un semestre completo por sí mismo. Bien,si usted deletrear y comer con cuchara cada pequeño detalle de la construcción, seguro,eso es cierto. Pero no creo que usted tiene que hacer esto para lograr la experiencia necesaria. Sólo ciertos pasos que necesita un profesor para ayudar a los estudiantes a través de ella-el resto es sólo pala trabajo que puede-y debe-hacer si suministra correctamente con sugerencias. Claramente,el salto de los números racionales a los números reales se debe hacer cuidadosamente y en detalle.Creo que los pasos anteriores-la construcción de los números naturales a partir de los axiomas de Peano,etc.,se puede hacer con mucho menos detalle si los pasos clave son un hecho.Llenar estos vacíos pueden ser la base para la maravillosa conjuntos de problemas para los estudiantes. Terence Tao del curso de análisis de la UCLA famoso se hizo de ese modo.Tao encontró el 2 a 3 semanas o así que el trabajo que se necesitaba para hacerlo más pagado en la profundidad de la comprensión de sus alumnos tenía entonces-el estándar luchando con límites estaba casi completamente evitados y la última parte del curso no sólo fue mucho más rápido, a continuación, en una clase estándar, no era mucho mayor comprensión por parte de los estudiantes. Yo estaba absolutamente anonadado leer acerca de esto en el prefacio a Tao del Análisis I y Análisis II libros y estoy con ganas de probar a mí mismo cuando me enseñan real análisis de la primera vez. Sugiero encarecidamente que probarlo y ver cómo va.
(De hecho,Pugh lugar a toda prisa croquis del desarrollo en el primer capítulo-dando un muy bien detallada cuenta de la construcción de R de Dedekind cortes de racionales, donde la mayoría de los textos prefieren convergente de Cauchy secuencias de racionales.Este está muy bien hecho-aunque no estoy de acuerdo con él llamando a Edmund Landau de Fundamentos de Análisis "clásico aburrido".Creo Landau, el libro debería ser de lectura obligatoria para todas las matemáticas majors como se preparan para la escuela de postgrado.)
De todos modos, ese es mi muy larga de 2 centavos de dólar sobre el asunto. Buena suerte,háganos saber cómo le fue!
