La notación para, finalmente, menos de

Question

Hay algunos notación para

\[f(n)\leq g(n)\] para n suficientemente grande

Aparte de la escritura que sí? Yo estoy pensando en algo compacta como la notación de Landau $f\ll g$.

(Disculpas si este es demasiado específico para MathOverflow - acaba de cerrar, si es así. Yo también estaba seguro de qué tipo de etiquetas para agregar, así que sólo tiene que modificar en consecuencia).

Answer 1

En la lógica, esta relación se llama casi igual o inferior, y se indican con un asterisco en la relación símbolo, como este: $f \leq^* g$.

Por ejemplo, la delimitación número es el tamaño del más pequeño de la familia de funciones de N a N que no es limitada con respecto a esta relación. En virtud de CH, la delimitación número es continuo, sino que es coherente con el fracaso de CH que la delimitación número es otro valor intermedio.

Answer 2

Buena notación se explica por sí mismo y no requieren que el lector recuerde mucho. Me gustaría escribir: $$ f\le g\quad\text{eventually}$$ $$ f\le g\quad\text{ near }\infty$$ Si usted usa más de 100 veces en un papel que podría usar algo como $$ f \preccurlyeq g.$$

Answer 3

¿Por qué no sobrecargar $\leq$ cuando se aplica a las secuencias? Creo que no hay ninguna oportunidad para la confusión, y que encaja con la notación que usaría cuando se extiende $\leq$ a un ultraproduct.

Esto es lo que Jim Henle hace en su "no-no estándar de análisis", que utiliza el "tiempo" como un reemplazo para un ultrafilter.

Answer 4

Estoy de acuerdo con Joel Hamkins la respuesta, pero no estoy totalmente de acuerdo con su comentario sobre la respuesta. Yo por lo general uso de asteriscos significan "con un número finito de excepciones" o "módulo finito de conjuntos", así que me gustaría usar $f\leq^*g$ $A\subseteq^*B$ como Joel dice. Pero cuando se trabaja modulo ideal $I$ otro que el ideal de conjuntos finitos, yo normalmente evitar asteriscos y en su lugar escribir $f\leq_Ig$$A\subseteq_IB$.

Me gustaría protestar enérgicamente contra el uso de $\ll$ en esta situación. Para mí, $f\ll g$ significa que $f$ es mucho menor que $g$ (en menos tiempo), mientras que aquí podría tener $f(n)=g(n)-1$ todos los $n$.