El valor absoluto de una función integrable de Riemann es integrable de Riemann.

Question

Este es un ejercicio de Bartle & Sherbert Introducción al análisis real segunda edición.

Piden que se demuestre que si $I=[a,b]$ es un intervalo cerrado y acotado y que $f:I\to\mathbb{R}$ es (Riemann) integrable en $I$ entonces $|f|$ es integrable en $I$ . Por supuesto que sabemos que la composición de una función integrable con una función continua es integrable, pero aquí piden demostrarlo directamente usando la desigualdad $$|f(x)|-|f(y)|\leq|f(x)-f(y)|,\quad\forall x,y\in I.$$ Por el criterio de Riemann, $\epsilon>0$ dada, existe una partición $P$ de $I$ tal que la diferencia entre la suma superior y la inferior sea menor que $\epsilon$ es decir $$U_f(P)-L_f(P)<\epsilon.$$ Así que si podemos demostrar que $$U_{|f|}(P)-L_{|f|}(P)\leq U_f(P)-L_f(P)$$ entonces habríamos terminado. Pero no veo cómo demostrar esta última desigualdad.

Answer 1

En cada subintervalo de la partición, $\sup |f|-\inf|f|\le \sup f-\inf f$ . Esto está claro (con igualdad) si $\inf f\ge 0$ o $\sup f\le 0$ y también si $\inf f<0<\sup f$ .