si $m^2 = a^3 - b^3$, $m$ es la suma de dos cuadrados.

Question

(Por favor, lea "Editar"s y ver esto.)

¿Cómo podría yo demostrar que : $$\text{If} \space m^2=a^3-b^3\text{ where}\space m,a,b\in\mathbb{N} \rightarrow \exists c,d \in\mathbb{N}\space \text{ such that}\space m=c^2+d^2 $$ gracias por la ayuda

Edit: me dijo la persona que me dio esta pregunta es erróneo, y que él corrigió como este: $$\text{If} \space m^2=(a+1)^3-a^3\text{ where}\space m,a\in\mathbb{N} \rightarrow \exists c,d \in\mathbb{N}\space \text{ such that}\space m=c^2+d^2 $$ Es una pregunta fácil, y ya sé la respuesta.

Edit2:yo, aunque sé que esta respuesta a la pregunta, pero después de pensar que no puedo resolver esto, podría alguien ayudarme a averiguar cómo resolver esto?(Espero que no estaba mal como la anterior pregunta, pero si usted piensa que es incorrecto, por favor hágamelo saber,necesito resolver esta pregunta de examen, yo quiero tomar de mis alumnos.)

Edit 3: la segunda pregunta no era malo y que ha sido contestadas en este enlace.

Answer 1

Usted no puede demostrar porque es falso.

Vamos $a=90$, $b=54$. Entonces $$a^3-b^3=571536=2^4\cdot3^6\cdot7^2$$ and hence $$m=2^2\cdot 3^3\cdot 7.$$ This cannot be written as the sum of two squares since it has prime factors congruent to $3$ modulo $4$ lo que parece un extraño poder. (Violación de Fermat condición)

Vea también: http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

Edit: El más pequeño ejemplo se produce cuando tomamos $a=10$, $b=6$, como entonces $$a^3-b^3=784=(28)^2$$ so that $m=2^2\cdot 7$. This cannot be written as the sum of two squares since we cannot write $7$ como la suma de dos cuadrados.