Ciertamente no puedo pensar en uno que no. Soy consciente de que hay descomposiciones de $R^n$ como una unión de embedded $S^1$'s, pero ninguno de estos parece que apoyaría una acción continua.
($S^1$ es la Mentira de grupo).
Respuesta
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Si suponemos además que la acción es diferenciable, tengo una idea que involucra de Poincaré-Hopf índice teorema.
Si pensamos en una acción de un elemento infinitesimal de $S^1$, entonces se puede visualizar como un campo de vectores en $\mathbb{R}^n$. Supongamos que el vector de campo es no-fuga. También podemos pensar en él como un campo de vectores $X$ $S^n$ (a través de un punto de compactification). En este caso tenemos un punto singular (un punto donde el campo vectorial se desvanece) a $\infty$.
Debido a $S^1$ actúa en $S^n$, cada línea de flujo de $X$ debe volver al punto original después de cierto tiempo. Esto implica que las líneas de flujo alrededor de $\infty$ debe de ser circular los flujos de ir alrededor de $\infty$ (ya que el flujo puede ir en $\infty$ ni salir de ella). Esto significa que el índice de $X$ $\infty$ $1$ o $-1$. (Más precisamente, si pensamos un poco esfera $s^n$ el campo vectorial alrededor de $\infty$ induce un mapa de $s^n \rightarrow s^n$, y no tiene ningún punto fijo. Esto significa que el índice en $\infty$ es igual a $(-1)^{n+1}$) Ahora, debido a Poincaré-Hopf índice teorema de la suma de todos los índices de $X$ debe ser igual a la de Euler-Poincaré característica de $S^n$, 0 $n$ impar y 2 para $n$ incluso. Es una contradicción, porque $X$ sólo tiene un punto singular y su índice es de 1 como hemos observado.
Por lo tanto, $X$ debe tener un punto singular $x_0$ en algún lugar de $\mathbb{R}^n$, y esto significa que cada diferenciable de acción de $S^1$ $\mathbb{R}^n$ debe tener un punto fijo. (Por acción de la $S^1$ es un grupo de parámetros generados por $X$, $x_0$ es un punto fijo para cualquier acción de $S^1$.)
