Me ha gustado mucho esta pregunta. La página de wikipedia de configuraciones de las líneas de desviación tiene una referencia a esta hermosa papel de Viro & Viro que -entre otras cosas- responde positivamente a la primera pregunta.
Así es como funciona la idea: Consideremos dos planos paralelos en posición general (es decir, no paralelos a ninguna de las líneas). En el primer plano fije los puntos de intersección de las líneas y el plano. En el segundo plano haz una marca (relativa a ese plano) en cada punto de intersección de las líneas. A continuación, aleja el segundo plano verticalmente del primero y deja que las líneas se muevan, ya que su punto de intersección con el segundo plano debe ser siempre el punto marcado correspondiente.
También se puede pensar en ello como si se hiciera un pequeño agujero en el segundo plano, de modo que cuando se mueve obliga a toda la configuración de líneas a cambiar con él. En cierto sentido, el plano móvil es como un peine que mueve todas las líneas en posición paralela.
Ahora, tenemos que comprobar que durante este proceso las líneas nunca se cruzan. Basta con comprobar que se trata de un solo par de líneas. Esto no es muy difícil de hacer:
En primer lugar, supongamos que los planos son paralelos a la $x,y$ -plano. Ahora llamamos a los puntos fijos del primer plano $A=(a_1,a_2,0)$ y $B=(b_1,b_2,0)$ y los puntos marcados en movimiento $C=(c_1,c_2,t)$ y $D=(d_1,d_2,t)$ . Ahora, las líneas $AC$ y $BD$ se cruzan si el siguiente sistema tiene una solución en $x$ y $y$ $$a_1+x(c_1-a_1)=b_1+y(d_1-b_1)$$ $$ a_2+x(c_2-a_2)=b_2+y(d_2-b_2)$$ $$0+x(t-0)=0+y(t-0)$$ Ahora bien, esto obliga a $x=y$ y luego $$\frac{b_1-a_1}{c_1-a_1-d_1+b_1}=\frac{b_2-a_2}{c_2-a_2-d_2+b_2}$$ Pero fíjese que esto no depende de $t$ ¡! Es decir, si las líneas no se cruzan inicialmente, nunca se cruzarán durante el movimiento de peinado impuesta por el segundo plano en movimiento.
