¿Cuál es el significado físico de los elementos de la matriz de inercia fuera de la diagonal?

Question

El tensor de momento de inercia contiene seis elementos de matriz fuera de la diagonal, que desaparecen si elegimos un marco de referencia alineado con los ejes principales del cuerpo rígido en rotación; el vector del momento angular es entonces paralelo a la velocidad angular. Pero al considerar el caso general, ¿cuáles son los elementos de matriz fuera de la diagonal del momento de inercia? Es decir, ¿tienen algún significado físico como [por ejemplo] los componentes de un vector? ¿O es solo una construcción matemática sin un significado físico definido (lo cual me parece bastante incorrecto)?

Existe un hilo similar aquí, pero están más interesados en los ejes principales del cuerpo. También dice:

 

El significado físico de los componentes fuera de la diagonal es que   estás usando un sistema de coordenadas que no está alineado con los   direcciones principales del objeto. No nos dicen nada interesante sobre el   objeto en sí mismo.

¿Es eso todo o hay más, quizás relacionado con las propiedades de tensores en general?

Answer 1

El tensor de momento de inercia (MOI) es real (sin términos imaginarios), simétrico y definido-positivo. Álgebra lineal nos dice que para cualquier matriz (3x3) que tenga esas tres propiedades, siempre hay un conjunto de tres ejes perpendiculares de modo que el tensor de MOI se pueda expresar como un tensor diagonal en la base de esos ejes. Estos se llaman los ejes principales (o autovectores) de rotación, y el significado físico detrás de ellos es que si se rota el objeto alrededor de uno de esos ejes, el momento angular estará a lo largo del eje. Así que una cosa importante que darse cuenta es que no hay nada fundamentalmente significativo sobre los elementos fuera de la diagonal; siempre puedes rotar tus coordenadas para deshacerte de ellos. Si el objeto tiene un eje de simetría, entonces ese será un eje principal. (Aunque tener un eje principal no implica ninguna simetría del objeto.)

Por otro lado, ¿qué pasa si el cuerpo está rotando alrededor de un eje que no es uno de los ejes principales? Esto es equivalente a escribir tu MOI en una base donde el eje de rotación es uno de los vectores base, en cuyo caso hay elementos fuera de la diagonal, que es lo que tu pregunta está preguntando. Entonces, elementos fuera de la diagonal en tu MOI son equivalentes a tener un eje de rotación que no está alineado con ninguno de los ejes principales. Nuevamente, esto solo sucede cuando tu cuerpo no es simétrico sobre el eje de rotación.

¿Y qué significa esto físicamente? Por un lado, el momento angular no está alineado con la velocidad angular. Por ejemplo, imagina tu objeto girando dentro de un satélite simétrico en el espacio. Puedes ver su eje de rotación, pero si el satélite se agarra al objeto, absorberá el momento angular y descubrirás que el satélite gira sobre un eje diferente.

Alternativamente, puedes pensar en la expresión que relaciona el torque y la aceleración angular $\vec{\tau} = I \cdot \vec{\alpha}$. Un elemento fuera de la diagonal en el MOI significa que si aplico un torque alrededor de cierto eje, el objeto acelerará su rotación sobre un eje diferente.

Answer 2

El momento de inercia del producto (PMI, elementos fuera de la diagonal como $I_{xy}$) es una medida de la "simetría en torno a un plano".

Si un objeto es simétrico en torno a un plano, entonces el PMI en torno al plano es cero.

A diferencia del MI, el PMI NO se trata de un eje, sino de un plano.

Answer 3

Supongamos que el cuerpo está rotando alrededor de un eje. Entonces, cada elemento de masa fuera del eje de rotación está rotando instantáneamente alrededor del eje de rotación en un movimiento circular. Debido a la inercia, habrá una fuerza inercial dirigida hacia afuera aplicada en ese elemento y en el cuerpo ya que el cuerpo es rígido. Todos los elementos de masa contribuirán a la fuerza inercial total. Dado un marco de referencia, generalmente uno con origen en el centro de masa, si el momento de la fuerza inercial total es diferente de cero, el cuerpo tenderá a cambiar la dirección del eje de rotación. Ese es el caso cuando el eje de rotación inicial no es un eje de rotación principal y los productos de inercia son diferentes de cero (dependen del marco de referencia seleccionado). La fuerza inercial total no está equilibrada cuando el producto de inercia del eje de rotación es diferente de cero, cambiando el eje de rotación.

No es necesario que la fuerza inercial total sea cero: el cuerpo puede moverse "lateralmente" sin cambiar el eje de rotación. Ese es el caso cuando la fuerza inercial total es diferente de cero pero su momento relativo al origen es nulo.