Maneras fáciles de encontrar parcial de la fracción de la representación? (a través de un ejemplo concreto)

Question

En la realización de una tarea (acerca de la generación de funciones) los estudiantes se encuentran tener que expandir $\frac{3-7x+9x^{2}-3x^{3}}{\left(1-x\right)^{4}}$ introducción parcial de las fracciones. El uso de alguna herramienta automatizada (por ejemplo, Wolfram alpha) la expansión se encuentra de inmediato: $\frac{3}{1-x}-\frac{2}{\left(1-x\right)^{3}}+\frac{2}{\left(1-x\right)^{4}}$.

Sin embargo, el envío de los estudiantes para usar Wolfram alpha en lugar de la informática por sí mismos parece problemático para mí. Sin embargo, no tengo idea de cómo la fracción parcial de la representación se puede encontrar sin un montón de trabajo sucio de los involucrados, lo cual asegurará que los estudiantes odio el ejercicio en lugar de aprender de ella.

Mi pregunta es hay alguna "buena" manera de hacer las cosas simplemente estoy inconsciente? Por supuesto, la mejor respuesta es una demostración en el caso concreto de $\frac{3-7x+9x^{2}-3x^{3}}{\left(1-x\right)^{4}}$ -, pero sólo se dará si su método es bastante simple, de modo que la escritura hacia abajo no es un montón de trabajo...

Answer 1

Una cosa que los estudiantes a veces se encuentran atractivo (y que hice yo cuando la vi por primera vez), es el uso de los polinomios de Taylor. Poner $f(x) = (3 - 7x+9x^2 -3x^3)$, y, a continuación, escribir $f(x)$ $f(1) + f^{\prime}(1)(x-1) + \frac{f^{"}(1)}{2!}(x-1)^{2} + \frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^{3}$ . Por supuesto, el mismo truco funciona cada vez que tiene una función racional de la forma $\frac{g(x)}{(x-a)^d}$ a tratar. Si $g(x)$ tiene el grado $n,$ sólo tienes que escribir como $\sum_{j=0}^{n} \frac{g^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^{j}$.

Answer 2

En este caso particular, creo que la forma más rápida de hacerlo es introducir una nueva variable $t=1-x$. Así que acaba de sustituir a $x=1-t$ y expandir: $$ \frac{3-7x+9x^{2}-3x^{3}}{\left(1-x\right)^{4}}= \frac{3-7(1-t)+9(1-t)^{2}-3(1-t)^{3}}{t^{4}}= \frac{2-2t+0t^2+3t^3}{t^4}= \frac{2}{t^4} - \frac{2}{t^3} + \frac{3}{t}. $$ Ahora pon $t=1-x$ espalda, y usted tiene el parcial fracciones de descomposición.

Answer 3

$${3-7x+9x^2-3x^3\over(1-x)^4}={A\over1-x}+{B\over(1-x)^2}+{C\over(1-x)^3}+{D\over(1-x)^4}$$

$$3-7x+9x^2-3x^3=A(1-x)^3+B(1-x)^2+C(1-x)+D$$

Sustituto $x=1$ conseguir $D$. Diferenciar y sustituto $x=1$ conseguir $C$. Diferenciar de nuevo y deje $x=1$ conseguir $B$. ¿Adivinen qué? Diferenciar de nuevo y poner $x=1$ conseguir $A$.

Answer 4

Cuando usted hace eso, usted utilizar el hecho de que los polinomios $1$,$(1-x)$, $(1-x)^2$, $(1-x)^3$ y $(1-x)^4$ forman una base del espacio vectorial de polinomios de grado $\le 4$, y por lo tanto tratas de expresar $3-7x+9x^2-3x^3$ como una combinación lineal de $(1-x)$, ... $(1-x)^4$. Claramente, ya que el polinomio que usted está tratando con el grado $3$, de modo que usted no necesita el grado $4$ plazo (es decir, que estamos seguros de que el coeficiente de en frente de ella se $0$, por lo que no tenemos un término de la forma "$E(1-x)^4$"). Esto te deja con el siguiente sistema : $$ 3-7x+9x^2-3x^3 = a + B(1-x) + C(1-x)^2 + D(1-x)^3 $$ El "trabajo sucio" que están diciendo es que siempre va a ser de álgebra lineal, y menos que hacer el cálculo a mano (y esto puede implicar trucos, como la conexión de los números, la diferenciación, manipulaciones, etc), el único truco fácil (la única en la que sólo "aplicar una fórmula") no es la forma de una matriz y de invertir. Para ver cómo esto podría ir, escribe el polinomio en la forma $(3,-7,9,-3)$, que es su escritura durante el estándar $\{1,x,x^2,x^3\}$. Con eso en mente, ampliar los polinomios en la RHS a encontrar $$ A + B(1-x) + C(1-x)^2 + D(1-x)^3 = (a+B+C+D) + (a-B-2C-3D)x + (C+D)x^2 + (-D)x^3. $$ Esto significa que un polinomio escrito sobre la base de la $\{1,(1-x),(1-x)^2,(1-x)^3\}$ con coeficientes de $(A,B,C,D)$ obtiene asignada a un polinomio escrito sobre la base de la $\{1,x,x^2,x^3\}$ con coeficientes de $(A+B+C+D,-B-2C-3D,C+D,-D)$. Esto significa $$ \begin{bmatrix} 3 \\ -7 \\ 9 \\ -3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A+B+C+D \\ -B-2C-3D \\ C+3D \\ -D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ \end{bmatrix} $$ Así que si usted invertir la matriz y se multiplica por el vector de coeficientes de llegar el nuevo vector de $(A,B,C,D)$ con su solicitud de coeficientes. Dividiendo la primera ecuación anterior da lo que quería.

Esto está lejos de ser la más rápida de hacerlo a mano ya que los seres humanos somos muy perezosos para invertir matrices =) Pero como Gerry Myerson y Geoff Robinson han demostrado, hay maneras de encontrar algunos de los coeficientes de forma rápida y que simplifica el trabajo.

Espero que ayude,