Topológico Unirse a la Cuña y la Suma de las Esferas

Question

Deje $S^{n}$ $n$- esfera. Me gustaría para calcular la reducción de la homología (con $\mathbb{Z}$-coeficientes del espacio $\bigvee^{r}_{i = 1} S^{n_{i}} * \bigvee^{s}_{j = 1} S^{m_{j}}$ donde $r, s, n_i, m_j \geq 0$ $*, \vee$ denotar el unirse y cuña suma de operaciones, respectivamente. Puedo calcular estos grupos de homología de puro cuñas sumas de esferas o de la pura topológica de las uniones de las esferas, pero no estoy seguro de cómo proceder para este general del caso mixto.

Preguntas:

¿La operación de unión del factor de más de cuña de la suma, es decir, $$S^{n} *(S^{m_1} \vee S^{m_2}) \simeq (S^{n}*S^{m_1}) \vee (S^{n} * S^{m_2}) \simeq S^{n + m_1 + 1} \vee S^{n + m_2 + 1}?$$

Se puede reducir el $\bigvee^{r}_{i = 1} S^{n_{i}} * \bigvee^{s}_{j = 1} S^{m_{j}}$ en una manera similar?

Sé que esta afirmación es verdadera para suspensiones $$\Sigma(\bigvee^{s}_{j = 1} S^{m_{j}} ) \simeq \bigvee^{s}_{j = 1} S^{m_{j} + 1},$$ which can be viewed as the join with $S^{0}$ de la izquierda.

Actualización: Sí, creo que se puede recorrer la suspensión de la izquierda para demostrar la identidad de $$S^{0} * \cdots * S^{0} *(S^{m_1} \vee S^{m_2}) \simeq S^{n + m_1 + 1} \vee S^{n + m_2 + 1},\;\; \text {where}\;\; S^{0} * \cdots * S^{0} \simeq S^{n}.$$

Todavía estoy trabajando en el caso general.

Actualización 2: tengo una corazonada de que $$ \bigvee^{r}_{i = 1}^{n_{i}} * \bigvee^{s}_{j = 1}^{m_{j}} \simeq \bigvee^{r}_{i = 1} \bigvee_{j = 1}^{s}^{n_{i}} * S^{m_{j}} \simeq \bigvee^{r}_{i = 1} \bigvee_{j = 1}^{s}^{n_{i} + m_{j} + 1}. $$ Si $n_{i} = n$$m_{j} = m$$1 \leq i \leq r$$1 \leq j \leq s$,$\bigvee^{r}_{i = 1} S^{n_i} * \bigvee^{s}_{j = 1} S^{m_j} \simeq \bigvee^{rs}_{i = 1} S^{n + m +1}$.

De lo que se generaliza en CW complejos o a espacios topológicos finitos homológica tipo?

Gracias!

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es sí. En concreto, definir la reducción de unirse de punta espacios de $(X,x_0)$ $(Y,y_0)$ por la fórmula $$ X {\;\ast_\text{rojo}\;} Y \;=\; (X \ast Y) / \bigl(\{x_0\} \ast Y \;\cup\; X \ast \{y_0\}\bigr). $$ Si $X$ $Y$ CW complejos y $x_0,y_0$ son vértices, entonces la reducción de unirse a $X {\;\ast_\text{red}\;} Y$ es homotopy equivalente a $X \ast Y$ (véase el argumento de abajo). Sin embargo, es fácil ver que $$ (X\lor Y){\;\ast_\text{rojo}\;}Z \;\;\cong\; X{\;\ast_\text{rojo}\;}Z)\lor(Y{\;\ast_\text{rojo}\;}Z) $$ donde $\cong$ denota homeomorphism. De ello se sigue que $$ (X \lor Y)\ast Z \;\simeq\; (X\lor Y){\;\ast_\text{rojo}\;}Z \;\;\cong\; X{\;\ast_\text{rojo}\;}Z)\lor(Y{\;\ast_\text{rojo}\;}Z) \;\simeq\; (X\ast Z) \lor (Y\ast Z). $$ donde $\simeq$ denota homotopy de equivalencia.

¿Por qué la reducción de la combinación es homotopy equivalente a la combinación: Suponga que $X$ $Y$ CW complejos, y la basepoints $x_0$, $y_0$ son los vértices. A continuación, la combinación $X\ast Y$ tiene un celular natural de la estructura, y los subespacios $$ Un \;=\; \{x_0\} \ast Y \qquad\text{y}\qquad B \;=\; X \ast \{y_0\} $$ son subcomplejos. Pero $A$ es homeomórficos el cono de $Y$ $B$ es homeomórficos el cono de $X$, por lo tanto $A$ $B$ son contráctiles. Por otra parte, la intersección $$ A \cap B \;=\; \{x_0\} \ast \{y_0\} $$ es sólo un segmento de línea. De ello se desprende que $A \cup B$ es un contráctiles subcomplejo de $X\ast Y$, y por lo tanto $(X\ast Y)/(A\cup B)$ es homotopy equivalente a $X\ast Y$.