Cómo calcular racional o entero puntos en curvas elípticas

Question

Este es un intento de conseguir a alguien para escribir una respuesta canónica, como se discute en esta meta hilo. Muchas veces tenemos personas que vienen a pedir soluciones a una ecuación de diophantine que, después de una astuta manipulación, se pueden convertir en la búsqueda racional o un número entero de puntos de una curva elíptica. Ver aquí, aquí, aquí, aquí, aquí. (Esta lista está sesgada hacia las preguntas que he contestado porque las recuerdo mejor; otras personas han respondido a las preguntas tales como.) Me gustaría una respuesta a la que, después de que uno de nosotros ha explicado el ingenio, podríamos dirigir la OP.

Una respuesta ideal sería la dirección de

• Cómo encontrar a la vez racionales y enteros soluciones

• Buenas soluciones de software. Idealmente, sería bueno tener un tutorial para hacer estas cosas con Sage Notebook, para que la gente pudiera encontrar soluciones incluso sin instalar nada.

• Referencias de cómo transformar algunas presentaciones estándar de curvas elípticas en forma de Weierstrass, por lo que no tenemos que escribir el álgebra cada vez. Estoy pensando en un cúbicos en $\mathbb{P}^2$, con una racional punto de que no es un flex, $y^2 = \mbox{grado 4 polinomio}$, $(1,1)$ curva en $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$, o una intersección de dos quadrics en $\mathbb{P}^3$.

Answer 1

La pregunta es bastante amplia, pero aquí hay algunas referencias.

Fórmulas para Weierstrass ecuación de un plano cúbico, $y^2=$ cuártica, la intersección de dos quadrics y en algunos otros casos, puede ser encontrada en el Capítulo 1 de Ian Connell de la Curva Elíptica Manual .

El $\tt{mwrank}$ algoritmo se describe en Cremona el libro de Algoritmos para Modular Curvas Elípticas. La documentación de esta y otras rutinas de Sage para curvas elípticas sobre Q es en http://sagemath.org/doc/reference/sage/schemes/elliptic_curves/ell_rational_field.html.

Connell del ECH capítulo 3.6 es sobre los métodos para el cómputo de Mordell-Weil bases.

La teoría y la práctica para la rigurosa encontrar todos los enteros puntos:

Stroeker & De Weger de Problemas elípticos de diophantine ecuaciones: el general cúbicos caso (1999)

Stroeker & Tzanakis, Computación todos los enteros soluciones de un género 1 ecuación (2003)

La racional y entero de punto hallazgo han preguntado varias veces en Matemáticas de Desbordamiento, con referencias y algunas código proporcionado. Algunas respuestas son directamente de los desarrolladores de software.

http://mathoverflow.net/questions/42016/algorithms-for-finding-rational-points-on-an-elliptic-curve

http://mathoverflow.net/search?q=mwrank

Sage código y referencias (integrante puntos):

http://mathoverflow.net/questions/6676/integer-points-of-an-elliptic-curve

http://mathoverflow.net/questions/7907/how-to-find-all-integer-points-on-an-elliptic-curve

Salvia (código de puntos racionales):

http://mathoverflow.net/questions/57498/looking-up-the-mordell-weil-rank-and-generators-of-a-weierstrass-equation/57502#57502

Otros elementos de la nota -

1. Todos los algoritmos para el cálculo de la Mordell Weil grupo se basan en conjeturas, tales como BSD o la finitud del Sha.

2. Algunas de las rutinas de software se tome como entrada un general de Weierstrass modelo $ Y^2 + a_1 XY + a_3 Y = X^3 + a_2 X^2 + a_4 X + a_6 $, no racional de Weierstrass forma $y^2 = x^3 + Ax + B$. El último sería ingresado como $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_6) = (0,0,0,a,B)$.