Paquetes vectoriales sobre un colector

Question

Demuestre que si un colector $M$ es contractible, entonces todo haz vectorial sobre $M$ es equivalente al haz trivial.

Tengo esto como tarea pero estoy un poco perdido en el tema del bulto vectorial del agujero, así que si alguien pudiera dar algunas pistas para este así como para entender el tema, sería muy apreciado .

Answer 1

He aquí un par de cosas que me han resultado útiles a la hora de pensar en los paquetes de vectores:

1. Sobre espacios agradables se pueden clasificar hasta el isomorfismo. En este caso, por "agradable" entendemos un colector compacto o un complejo CW. La idea es que todo haz vectorial de dimensión finita $\xi: E \to X$ es isomorfo al pull back del haz universal $EG \to BG$ donde $G$ es algún grupo de estructura particular. (para $\xi$ un verdadero $n$ haz de dimensiones $G=GL_n(\mathbb{R})$ Sin embargo, tenga en cuenta que $O(n)$ es equivalente en homotopía a $GL_n(\mathbb{R})$ ). Se puede aprender mucho sobre un haz de vectores examinando el mapa que lo clasifica. Por ejemplo, $\xi: E \to X$ es orientable si y sólo si el mapa que lo clasifica puede ser levantado sobre la fibración $BSL_n(\mathbb{R}) \to BGL_n(\mathbb{R})$ .

2. Los haces vectoriales son familias de espacios vectoriales que se comportan muy bien sobre $X$ . Normalmente los utilizamos para llevar un registro de algunos datos importantes sobre $X$ . De hecho, la mayoría de las operaciones sobre espacios vectoriales se extienden a operaciones sobre haces vectoriales sobre $X$ . Cosas como los productos tensoriales, las sumas directas, las potencias exteriores y simétricas aparecen todo el tiempo.

3. Sorprendentemente todo haz de vectores $\xi: E \to X$ es una equivalencia homotópica ya que las fibras son contractibles. Parece que esto hace que los haces vectoriales sean algo tonto, pero ilustra que son objetos inherentemente geométricos. Aunque los utilizamos para ciertas construcciones en la teoría de la homotopía, en realidad se refieren a la geometría del espacio base. Dicho esto, la teoría de la homotopía puede decir muchas cosas sobre los haces vectoriales; consideremos la teoría de Chern-Weil, que relaciona las clases de cohomología (un artilugio que sólo puede ver la teoría de la homotopía) con cosas como la curvatura.

Una gran ayuda para el aprendizaje de los paquetes para mí fue pensar en ellos como objetos, como cuando se piensa en un colector que desea pensar en el colector no sus parametrizaciones.

La respuesta de Mariano es acertada, yo sólo añado algunos datos útiles. Si quieres que te aclare algo, dímelo.

Answer 2

Demuestre que si $f,g:X\to Y$ son dos mapas entre variedades que son homotópicos, y si $E$ es un haz vectorial en $Y$ entonces $f^{-1}(E)$ y $g^{-1}(E)$ son haces vectoriales isomorfos en $X$ . (En realidad, no es necesario que ambos $X$ y $Y$ ser colectores: se puede pasar si son sólo espacios y $X$ es paracompacto...)

(Deberías proporcionar información sobre tus antecedentes, de lo contrario es más o menos imposible dar una respuesta útil, como ves).

Answer 3

Esto puede ser una repetición de lo que Mariano y Sean estaban sugiriendo: lo más probable es que producir un morfismo de haz entre tu haz y el haz trivial, o producir una trivialización global de tu espacio superior. el haz trivial, o producir una trivialización global de su espacio superior.