Anillo sin $1$ donde $\forall r\in R$, $\exists$ $n_r > 1$ tal que $r^{n_r} = r$, y no todos los números primos son máximas

Question

En mi examen final de álgebra, hubo un problema en el que, básicamente, se preguntó lo siguiente:

Deje $R$ ser un anillo conmutativo tal que para todos los $r\in R$ existe $n_r\in\Bbb{Z}^{>1}$$r^{n_r} = r$. Probar que todos los primos son los ideales maximales.

La solución que creo que fue deseado va como esto:

Deje $\mathfrak{p}\subseteq R$ ser primer. Tome $a\in R\setminus\mathfrak{p}$, y considerar la posibilidad de $a + \mathfrak{p} = a^{n_a} + \mathfrak{p}\in R/\mathfrak{p}$. Como un anillo mod de un primer ideal es una parte integral de dominio no tiene divisores de cero, se puede cancelar. Suponiendo que $R$ tiene la unidad, nos encontramos con $1 + \mathfrak{p} = a^{n_a - 1} + \mathfrak{p}$, y desde $n_a > 1$, podemos escribir $$ a\cdot a^{n_a - 2} + \mathfrak{p} = \left(a + \mathfrak{p}\right)\left(a^{n_a - 2} + \mathfrak{p}\right) = 1 + \mathfrak{p}, $$ así que hemos encontrado una relación inversa para cualquier elemento distinto de cero en $R/\mathfrak{p}$. Desde $R/\mathfrak{p}$ es conmutativa, $R/\mathfrak{p}$ es un campo, y por lo tanto, $\mathfrak{p}$ es máxima.

He tenido un problema con la cancelación de paso. Parece requerir de $R$ que tiene la unidad, mientras que el enunciado del problema no requieren $R$ a de unidad. Creo que esto fue un error en mi profesor, pero me parece no puede encontrar un contraejemplo. No es demasiado problema para encontrar una $R$ (sin unidad) con la propiedad de que para todos los $ r\in R$ existe $ n_r\in\Bbb{Z}^{> 1}$ tal que $r^{n_r} = r$: tomemos, por ejemplo, la sub-anillo de $\left(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}\right)^{\Bbb{N}}$ (countably infinito producto de $\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}$'s), donde todos pero un número finito de entradas en un "vector" son cero. Es fácil ver que este anillo no tiene unidad; sin embargo, todavía satisface la propiedad de que cada primer ideal es máxima. Traté de subir con un genuino contraejemplo, pero no pude encontrar uno. Mi idea era modificar el ejemplo anterior considerando un infinito producto de algunos integral de dominio $\mathcal{O}$ (no un campo) donde $a^{n_a} = a$ algunos $n_a > 1$ por cada $a\in\mathcal{O}$, pero no pude encontrar una $\mathcal{O}$. Mientras cuento, mi pregunta es:

Hay un contraejemplo a la reclamación original al $R$ no ha $1$?

Answer 1

Quotienting a cabo por un alojamiento ideal en la que el candidato anillo de $R$, podemos reducir a nosotros mismos a la siguiente pregunta:

Si $R$ es un conmutativa anillo sin divisores de cero para que $r^{n_r} = r$ algunos $n_r > 1$ y todos los $r \in R$, entonces es $R$ simple?

Elija $r \neq 0$$R$, y deje $s$ ser cualquier otro elemento de $R$. A continuación,$r^{n_r} s = r s,$, por lo que la cancelación de $r$ desde ambos lados (posible desde $r$ es no-cero), tenemos $r^{n_r -1} s = s$. Aquí $s$ es arbitrario, y lo que en realidad nos encontramos con que $R$ admite una unidad, es decir,$r^{n_r - 1}$. Por lo tanto $R$ es en realidad un campo (por el argumento de la OP), y así es de simple.

Así que no hay ningún contraejemplo.