Cómo probar que $\lim \limits_{n\rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Question

¿Cómo se podía demostrar que $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi$$

donde $F_n$ es el enésimo número de Fibonacci y $\varphi$ es la Proporción áurea?

Answer 1

$$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$$

$$F_{n+1}/F_n=1+F_{n-1}/F_n=1+1/(F_n/F_{n-1})$$

Llame al límite de $x$; a continuación, $$x=1+1/x$ $

Tomar desde allí.

Answer 2

Si usted sabe que el límite existe, se puede proceder como en los de Gerry de la respuesta.

Probablemente hay muchas maneras diferentes de mostrar que el límite existe. Uno de ellos utiliza la sonda Cassini de la identidad $$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n,$$ usted puede obtener $$\frac{F_{n+1}}{F_n}-\frac{F_n}{F_{n-1}}=(-1)^n\frac1{F_nF_{n-1}}.$$

Así que ahora usted puede utilizar Leibniz prueba, usted sólo tiene que demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{F_nF_{n-1}}=0$

(Prueba de la nave Cassini de la identidad se puede encontrar en la Wikipedia, en este sitio o en otros lugares).

Answer 3

Gerry de la solución es muy elegante. Uno podría tomar la menos elegante de la ruta de la primera derivada de la fórmula de Binet:

$$F_n=\frac1{\sqrt{5}}(\phi^n-(-\phi)^{-n})$$

a partir de la cual

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{\phi^{n+1}-(-\phi)^{-n-1}}{\phi^n-(-\phi)^{-n}}=\frac{\phi-\frac{\left(-\frac1{\phi}\right)^{n+1}}{\phi^n}}{1-\frac{\left(-\frac1{\phi}\right)^n}{\phi^n}}=\frac{\phi+\frac{(-1)^n}{\phi^{2n+1}}}{1-\frac{(-1)^n}{\phi^{2n}}}$$

$(-1)^n$ es un almacén de la secuencia, mientras que $\frac1{\phi^n}$ decae muy bien a $0$, así que... usted puede tomar desde allí.