Demostrar que $\int_0^\infty \frac{e^{\cos(ax)}\cos\left(\sin (ax)+bx\right)}{c^2+x^2}dx =\frac{\pi}{2c}\exp\left(e^{-ac}-bc\right)$

Question

En mi curso, tengo que demostrar la fórmula siguiente $$I=\int_0^\infty \frac{e^{\cos(ax)}\cos\left(\sin (ax)+bx\right)}{c^2+x^2}dx =\frac{\pi}{2c}\exp\left(e^{-ac}-bc\right)$$ para $a,b,c>0.$

Sé que esta integral se puede resolver fácilmente con el análisis complejo utilizando $$f(z)=\frac{1}{2} \ \mathbb{R} \left(\int_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left(e^{iaz}+ibz\right)}{c^2+z^2}dz\right)$$ pero ahora mismo estoy en un curso que trata del análisis real. He intentado utilizar el método integral de parametrización $$I'(a)=-\int_0^\infty \frac{xe^{\cos(ax)}\sin(\sin(ax)+(a+b)x)}{c^2+x^2}dx $$ pero no parece más fácil de manejar. Intenté diferenciarlo de nuevo, pero me salió una forma horrible. Se me ocurrió una idea para diferenciar con respecto al parámetro $b$ y establecer una ecuación diferencial $$I''(b)+x^2I(b)=0$$ Si introduzco esta EDO en W|A, obtengo $$I(b)=c_1\cos(bx^2)+c_2\sin(bx^2)$$ ¡Definitivamente está mal! Después de ver la respuesta de Samrat, intenté conectarme de nuevo a W|A y obtuve $$I(b)=c_1 D_{-1/2}((i+1)b)+c_2 D_{-1/2}((i-1)b)$$

donde $D_n(z)$ es la función cilíndrica parabólica, pero no tengo ni idea de lo que significa.

¿Alguna idea? Gracias de antemano.

Answer 1

$$\begin{aligned} \int_0^{\infty} \frac{e^{\cos(ax)}\cos(\sin(ax)+bx)}{x^2+c^2}\,dx &=\Re\left(\int_0^{\infty} \frac{e^{e^{iax}}e^{ibx}}{x^2+c^2}\right) \\ &=\Re\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\int_0^{\infty} \frac{e^{i(ak+b)x}}{x^2+c^2}\,dx\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\int_0^{\infty}\frac{\cos((ak+b)x)}{x^2+c^2}\,dx \\ &=\frac{\pi}{2c}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}e^{-c(ak+b)}\\ &=\frac{\pi}{2c}e^{-bc}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-kac}}{k!}\\ &=\frac{\pi}{2c}e^{-bc}e^{e^{-ac}}=\boxed{\dfrac{\pi}{2c}\exp\left(e^{-ac}-bc\right)} \\ \end{aligned}$$

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He utilizado el siguiente resultado: $$\int_0^{\infty} \frac{\cos(mx)}{x^2+a^2}=\frac{\pi}{2a}e^{-am}$$

Answer 2

Como generalización de la respuesta de Pranav, supongamos que $f(z)$ tiene una expansión en serie de Maclaurin con coeficientes reales que converge absolutamente en el círculo unitario del plano complejo.

Entonces para $a, b, c >0$ ,

$$ \begin{align} \text{Re} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{ibx} f(e^{i a x}) }{c^{2}+x^{2}} \ dx &= \text{Re} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{ibx}}{c^{2}+x^{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} e^{ianx}\ dx \\ &= \text{Re} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{i(an+b)x}}{c^{2}+x^{2}} \ dx \tag{1} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos[(an+b)x]}{c^{2}+x^{2}} \ dx \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \frac{\pi}{2c} e^{-c(an+b)} \\ &= \frac{\pi}{2c} e^{-bc} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} e^{-acn} \\ &= \frac{\pi}{2c} e^{-bc} f(e^{-ac}). \end{align} $$

Su integral es el caso $f(z) = e^{z}$ .

$ $

$(1)$ ¿Cuándo se pueden intercambiar una suma y una integral?

Answer 3

Tenga en cuenta que $$I''(b)=-\int_{0}^{\infty}\frac{x^2e^{\cos ax}\cos(\sin (ax)+bx) }{c^2+x^2}dx\ne -x^2I(b)$$ Ese es su error, por lo demás, el planteamiento está bien.