OK, tengo un resultado analítico:
$$\frac{\pi}{4} \left [K_0(1) \mathbf{L}_{-1}(1) + K_1(1) \mathbf{L}_{0}(1)\right ] \aprox 0.621255$$
donde $K_0$ y $K_1$ son modificados funciones de Bessel de segunda clase, y $\mathbf{L}_{0}$ y $\mathbf{L}_{-1}$ son modificados Struve funciones de la primera clase.
Esto puede ser obtenido mediante el reconocimiento de que (+)
$${_1F_2}\left(\begin{array}{c}\tfrac12\\1,\tfrac32\end{array}\medio|-x\right) = \int_0^1 du \, J_0\left ( 2 u \sqrt{x}\right ) $$
La integral es entonces, al invertir el orden,
$$\int_0^1 du \, \int_0^{\infty} dx \frac{J_0\left ( 2 u \sqrt{x}\right )}{1+4 x}$$
El siguiente tendrá una derivación (++):
$$\int_0^{\infty} dx \frac{J_0\left ( 2 u \sqrt{x}\right )}{1+4 x} = \frac12 K_0(u)$$
El declaró resultado es entonces
$$\frac12 \int_0^1 du \, K_0(u) = \frac{\pi}{4} \left [K_0(1) \mathbf{L}_{-1}(1) + K_1(1) \mathbf{L}_{0}(1)\right ] $$
que puede ser encontrado en el DLMF.
La derivación de (+)
Tenga en cuenta que el coeficiente de $x^n$ en ${_1F_2}\left(\begin{array}{c}\tfrac12\\1,\tfrac32\end{array}\medio|-x\right)$, por definición, es
$$a_n = \frac{\frac12 \left (\frac12 + 1 \right ) \left (\frac12 + 2 \right ) \cdots \left (\frac12 + n-1 \right )}{n! \frac{3}{2} \left (\frac{3}{2} + 1 \right ) \left (\frac{3}{2} + 2 \right ) \cdots \left (\frac{3}{2} + n-1 \right )} \frac{(-1)^n}{n!}$$
que, después de la simplificación, es
$$a_n = \frac{(-1)^n}{(2 n+1) (n!)^2} $$
A continuación, tenga en cuenta que
$$J_0(2 u \sqrt{x}) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{u^{2 n}}{(n!)^2} x^n$$
Entonces
$$\int_0^1 du \, J_0(2 u \sqrt{x}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n+1)(n!)^2} x^n$$
y uno puede ver que los coeficientes de las respectivas potencia de la serie son iguales.
La derivación de (++)
Sub $x=r^2$ para obtener
$$\int_0^{\infty} dr \ r \frac{J_0(2 u r)}{1+4 r^2}$$
Ahora escribir
$$J_0(2 u r) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} d\theta \, e^{i 2 u r \cos{\theta}}$$
así que ahora tenemos como la integral
$$\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} d\theta \, \int_0^{\infty} dr \ r \frac{e^{i 2 u r \cos{\theta}}}{1+4 r^2}$$
Tenga en cuenta que podemos simplemente volver a convertir a coordenadas rectangulares para obtener
$$\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i 2 u x} \, \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dy}{1+4 x^2+4 y^2} $$
El interior de la integral es sencillo, así que estamos de vuelta a una sola integral:
$$\frac18 \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i 2 u x}}{\sqrt{1+4 x^2}} $$
Por subbing $x=\frac12 \sinh{t}$ y el uso de la definición
$$K_0(u) = \int_0^{\infty} dt \, \cos{(u \, \sinh{t} )}$$
obtenemos la declaró resultado.
