¿Cómo puedes saber si una métrica es curva?

Question

Yo estaba leyendo sobre la métrica de Kerr (de Sean Carroll libro) y algo que él dijo que me confunde.

Para empezar, la métrica de Kerr es bastante desordenado, pero lo más importante, contiene dos constantes - $M$ y $a$. $M$ es identificado como parte de la masa, y $a$ se identifica como el momento angular por unidad de masa. Él dice que esta métrica se reduce a un espacio plano en el límite de $M \rightarrow 0$, y está dada por $$ds^2 = -dt^2 + \frac{r^2 + a^2 \cos^2\theta}{r^2 + a^2}dr^2 + \left(r^2 + a^2 \cos^2\theta \right)d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 \right)\sin^2\theta d\phi^2 $$

y $r$, $\theta$ y $\phi$ son regulares esféricas polares coordenadas.

Pero no entiendo por que este espacio es obviamente plana. La métrica de Schwarzschild también contiene términos relacionados con la $dt^2$, $dr^2$, $d\theta^2$ y $d\phi^2$ pero es curvo. Siempre he pensado que una métrica con elementos de la diagonal implícita una curva en el espacio, pero claramente estaba muy equivocado.

Pregunta: ¿Cómo puede saber si una métrica es curvo o no, de sus componentes?

Answer 1

Saber si un espacio (o el espacio-tiempo) es curva o no mediante el cálculo de la curvatura del tensor. O más, sin ambigüedades, uno de los curvatura escalares (por ejemplo, Ricci, o Kretschmann), ya que éstas no dependen del sistema de coordenadas, pero toda la información en el escalares también está contenida en el tensor de Riemann.

No es necesariamente obvio si una determinada métrica es curva o plana. Usted puede tomar perfectamente plano espacio-tiempo y se expresan en un extraño sistema de coordenadas, en el que la métrica tiene no constante fuera de la diagonal términos. Es un ejercicio simple para tomar espacio plano y utilizar el tensor de la transformación de las leyes de la métrica, con algunos arbitraria extraña transformación de coordenadas que usted acaba de hacer. Usted verá lo que quiero decir.

Answer 2

En el límite donde el $M \to 0$, la métrica de Kerr se reduce a la forma esférica coordenadas de la forma de la Minkowskian métrica. En ese sentido, hemos de reconocerlo y decir que es "obvio" que es plana. (La métrica de Schwarzschild es también plana en el límite de $M \to 0$.)

Pero para demostrar que cualquier métrica es curvo o no tenemos que calcular la curvatura invariante. Por ejemplo, normalmente podemos calcular la curvatura de Ricci $R= R^i{}_i = R^{ki}{}_{ki}$ donde la primera $R$ es la curvatura de Ricci, el segundo $R$ Ricci tensor de curvatura y el tercer $R$ el tensor de Riemann. Si es $0$ el espacio es curvo, de lo contrario no lo es. Carroll tiene esto en su libro.

Answer 3

El plano espacio-tiempo se refiere aquí a la espacio-tiempo de Minkowski escrito con el esférico coordenadas (creo que uno de tu signo está equivocado en su ecuación) $$ ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 sen^2 \theta d\phi^2. $$ donde la métrica es la diagonal y tiene constantes los coeficientes de $g_{\mu \nu} = ( -1,1,1,1)$. Yo diría que las condiciones para un plano espacio-tiempo, que atañen sólo a su métrica, consulte a su forma diagonal y constante (por lo menos constante)

Answer 4

Carroll señala que, después de la (a=fijo,M->0) límite "reconocemos la espacial parte de este como espacio plano en coordenadas elipsoidales", así que en fin se había dado cuenta de que se trataba de un espacio plano por la inspección debe haber sido consciente de que el aspecto de una métrica plana en coordenadas elipsoidales, touche.