¿Cuál es el límite de $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^{\sqrt{n}}}{2^n}$?

Question

La pregunta es más bien:

Probar lo siguiente: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{x ^ {\sqrt x} }{ 2 ^ x} = 0. $$

Yo estaba pensando en usar el Teorema del sándwich (que puede no ser el camino a seguir), pero encontrar un-límite superior de la función resultó ser bastante complicado.

Answer 1

Para un " más " de primaria de la prueba (que no implica la $e$ o $\log$),

Sugerencia:

Demostrar el uso de la inducción que para cualquier $k \gt 7$, tenemos que

$$2^{k-1} \gt (k+1)^2$$

Trate de usar esto con el teorema del sándwich idea.

Para la integridad:

Deje $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$. Utilizando la anterior tenemos que, para todos los $n \gt 100$,

$$2^{\sqrt{n} - 1} \gt 2^{k-1} \gt (k+1)^2 \gt n$$

Elevar a $\sqrt{n}^{th}$ de la potencia obtenemos

$$2^{n - \sqrt{n}} \gt n^{\sqrt{n}}$$ y así

$$ 2^{-\sqrt{n}} \gt \frac{n^{\sqrt{n}}}{2^n}$$

Answer 2

Gracias Zev y Dan, yo estaba en el camino. Mi respuesta va como esto:

Puedo comparar la tasa de cambio de ambas funciones (1) $\ln(x){ \sqrt{x} }$ y (2) ${\ln(2)}x$ tomando sus derivados y la evaluación de ellos a medida que x tiende a infinito :

(1) $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt x} + {1/2}\frac{\ln {x}}{\sqrt x} = 0 $$

Sugerencia: use la regla de L'Hôpital si no estás seguro acerca de la 2ª cociente.

(2) $$ \lim_{x \to \infty} \ln {2} = \ln {2} $$

Por lo que (2) tiene un mayor crecimiento de (1) para x ir hasta el infinito, de modo
$$ \lim_{x \to \infty}\frac{x^{\sqrt{x}}}{2^x}=\frac{e^{\ln(x)\sqrt{x}}}{e^{\ln(2)x}}=e^{\ln(x){ \sqrt{x} }-\ln(2)x} = 0 $$

Answer 3

Tomemos n= m^2 y obtenga $\lim\limits_{m \to \infty} \frac{m^{2m}}{2^{m^2}}$. Mediante la prueba de razón tenemos que:

$$R=\lim\limits_{m \to \infty} \frac{(m+1)^{2m+2}}{2^{(m+1)^2}}\cdot\frac{2^{m^2}}{m^{2m}} =\lim\limits_{m \to \infty}\frac{e^2 (m+1)^2}{2^{2m+1}}=0.$$

Q. E. D.

Answer 4

SUGERENCIA $\rm\displaystyle\quad \dfrac{X^{\sqrt X}}{2^X}\ =\ \bigg(\dfrac{Z^2}{{\it e}^{\:c\:Z}}\bigg)^{\!\!Z} =:\ F(Z)^Z,\quad \begin{array}* Z\: =\: \sqrt{X}\\ \rm c\: =\: \ln\:2\end{array}\ \ $ $\displaystyle\rm\ \lim_{Z\:\to\:\infty}\ F(Z)\: = 0\ $ por l'Hôpital.