¿Cómo puedo ver que la tangente paquete de toro es trivial

Question

He estado teniendo un tiempo difícil tratando de determinar si la tangente paquete de una variedad diferenciable es trivial. Es decir, si existe una diffeomorphism entre la tangente bundle $TM$ de un colector $M$ y el producto colector de $M\times \mathbb{R}^n$.

He logrado construir un diffeomorphism de$TS^1$$S^1\times \mathbb{R}^1$. Pero el caso con torus $S^1\times S^1$ le parece más difícil, ya que la dimensión es mayor.

En general, ¿cómo puedo demostrar que $S^1\times \cdots \times S^1$ ha trivial tangente paquete?

Answer 1

Aquí están tres maneras.

1. Tome un campo de vectores en la dirección de cada factor para obtener una banalización. Trabajo por inducción.
2. $\mathbb{S}^1\times\cdots\times\mathbb{S}^1$ es una Mentira grupo. Demostrar que cualquier Mentira grupo es parallelizable. (A la izquierda-invariante de la base de que el espacio de la tangente en $(1,1)$ y moverse por la Mentira del grupo de auto-acción.)
3. Probar que el producto de dos parallelizable colectores es de nuevo parallelizable (ver 1). Corolario: Cualquier producto de círculos es parallelizable.