¿Cómo garantizar soluciones cuadradas integrables para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

Question

Dada la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión $$H\psi = E\psi$$ ¿qué restricciones podemos poner en V(x) (dentro del hamiltoniano) y en E para garantizar que las soluciones no tengan norma infinita?

Mi pregunta surge del tratamiento del oscilador armónico cuántico en Griffiths. Allí, utilizando el método del operador escalera, encontramos nuevas soluciones aplicando los operadores escalera a las soluciones existentes. Pero ¿cómo podemos decir que la solución inicial $\psi_0$ (que utilizamos para generar nuevas soluciones) es normalizable (Griffiths demuestra que los operadores de escalera dan soluciones normalizables, dado que actúan sobre una función normalizable)?

Answer 1

Desde $V(x)$ está acotado desde arriba tenemos tres posibilidades. O bien oscila en el infinito con un límite superior, o bien asimila a una constante $<E$ o diverge a $-\infty$ .

Dado que estamos interesados en $x\rightarrow\infty$ podemos promediar la oscilación en el primer caso a la media, y si es divergente entonces nos preocupamos por la potencia polinómica más alta (llamémosla $\alpha$ suponiendo que la asíntota sea un polinomio, lo cual es bastante general). El resultado es que el comportamiento de la función de onda en el infinito es oscilante; trigonométrico para los dos primeros casos, y en el tercero como $x^{\frac{1-\alpha/2}{2+\alpha}}J_{\frac{1}{2+\alpha}}\left(\frac{2x^{1+\alpha/2}}{2+\alpha}\right)$ que de nuevo asimila un comportamiento oscilante no decreciente.

Los tres casos se resumen en la ecuación diferencial asintótica (donde $\alpha=0$ para los dos primeros casos) $$x\rightarrow\infty:\qquad \left(\frac{d^2}{dx^2} + \beta x^\alpha \right)\psi(x)=0$$

La cuestión es que en todos los casos un comportamiento asintótico oscilatorio no decreciente de la función de onda implica necesariamente que no es normalizable.

Answer 2

RESUMEN DE LA VERSIÓN EDITADA: No se puede poner ninguna condición a $V(x)$ y $E$ que garantizan que las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo son normalizables, por una razón algo tonta.

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Respuesta inicial y parcial: Si el potencial está limitado por debajo de algún valor $V_\text{min}$ entonces una solución a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con $E \leq V_\text{min}$ no puede ser normalizable. Prueba: supongamos que $\psi(x)$ es una función de onda normalizada que resuelve la ecuación de Schrödinger con valor propio $E$ . Entonces $$E = \langle \psi | H | \psi \rangle = \int \left[ \frac{\hbar^2}{2m} \left| \frac{d\psi}{dx} \right|^2 + V(x) |\psi|^2 \right] dx > \int V(x) |\psi|^2 dx \geq \int V_\text{min} |\psi|^2 dx = V_\text{min}.$$ Tenemos una igualdad estricta en el tercer paso porque $\psi$ no puede tener derivada cero en todas partes y seguir siendo integrable al cuadrado. (Nótese que este resultado es también un problema en el texto de Griffiths, con un método de solución diferente sugerido).

EDITAR:

De hecho, creo que es imposible imponer restricciones a $V(x)$ y $E$ que garantía una solución normalizable, por la siguiente razón bastante tonta: Si vemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo como una EDO, entonces para cualquier valor de $E$ hay dos soluciones linealmente independientes para la EDO de segundo orden $$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + \left[ V(x) - E \right] \psi = 0.$$ Así que incluso si una función cuadrada-integrable $\psi_1(x)$ satisface esta ecuación, también habrá otra solución linealmente independiente $\psi_2(x)$ que también satisfaga la ecuación, y esta segunda solución en general no será integrable al cuadrado (véase más adelante). Por ejemplo, si se intenta resolver la EDO anterior para el oscilador armónico con $E = \hbar \omega/2$ obtendrá dos soluciones, una de las cuales tiene la habitual $e^{-x^2/\sigma^2}$ comportamiento (y por lo tanto es cuadrado-integrable) y el otro de que va como $e^{x^2/\sigma^2}$ asintóticamente y, por tanto, no es integrable al cuadrado.

Se puede preguntar si es posible que ambos $\psi_1(x)$ y $\psi_2(x)$ podrían ser ambas cuadradas-integrables; pero desgraciadamente resulta que esto no es así. Para demostrar que esto no puede ocurrir, podemos utilizar una lógica como la de la respuesta de Ali Moh. Si el comportamiento asintótico de orden principal de $V(x)$ es proporcional a $x^\alpha$ y el potencial $V(x) \to \infty$ como $x \to \infty$ entonces podemos escribir la ecuación de Schrödinger asintóticamente (después de algún reescalado) como $$-\psi'' + (\beta x^\alpha - e) \psi = 0.$$ donde $e$ es proporcional a la energía y $\beta > 0$ . Si $\alpha > 0$ entonces el primer término de los paréntesis dominará, y la ecuación tiene entonces la solución aproximada (vía Mathematica) $$\psi(x) = \left\{ \sqrt{x} I_{-1/(2+\alpha)} \left( \frac{2 \sqrt{\beta}}{2 + \alpha} x^{1 + \alpha/2} \right), \sqrt{x} I_{1/(2+\alpha)} \left( \frac{2 \sqrt{\beta}}{2 + \alpha} x^{1 + \alpha/2} \right) \right\}.$$ donde $I_n(x)$ es una ecuación de Bessel modificada del primer tipo. Ahora, si tenemos dos soluciones $\psi_1$ y $\psi_2$ que corresponden al mismo valor de $E$ y son ambas integrables al cuadrado, entonces alguna combinación lineal de ellas debería comportarse como cada una de estas dos soluciones asintóticamente; pero ambas soluciones divergen, y $\psi_1$ y $\psi_2$ ambos tienen que llegar a cero asintóticamente para ser integrables al cuadrado. Por lo tanto, una de las soluciones $\psi_1$ y $\psi_2$ no debe ser cuadrado-integrable. (La misma lógica es válida si $\beta < 0$ En cambio, obtenemos funciones de Bessel ordinarias, que siguen sin ser integrables al cuadrado).

Si, por el contrario, $\alpha \leq 0$ entonces el potencial está acotado por encima y recuperamos el caso discutido por Ali Moh. De nuevo, la solución genérica de la EDO será oscilante o exponencial, por lo que a lo sumo una de las soluciones linealmente independientes de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo será normalizable.

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Más allá de esto, no estoy seguro de lo que se podría hacer exactamente. Se podría preguntar: "¿Podemos poner condiciones a $V(x)$ y $E$ tal que una solución normalizable de la ecuación de Schrödinger ¿existe? " Pero esto es básicamente preguntar "¿Es $E$ en el espectro del Hamiltoniano, cuando el Hamiltoniano está actuando sólo en el espacio de las funciones de onda normalizables?" En otras palabras, estás preguntando por los estados propios de energía y los valores propios, que es lo que solemos buscar de todas formas. Siempre se pueden utilizar los resultados de los principios variacionales para poner límites a los espectros de determinados potenciales; y existe el conocido resultado de que al menos un estado límite ( $E < 0$ ) existe para cualquier potencial atractivo en 1D (y 2D). Pero soy escéptico de que exista un resultado más general.