Evalute $ \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{k=0}\frac{\binom{n}{k}}{n^k(k+3)} $

Question

Evaluar $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{k=0}\frac{\binom{n}{k}}{n^k(k+3)}$.

$\bf{My\; Try::}$ A pesar de que podemos resolver mediante la conversión en definitiva de la Integración.

Pero quiero resolver sin el Uso de la Integración.

Por lo $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{k=0}\frac{\binom{n}{k}}{n^k(k+3)} = \lim_{n\rightarrow \infty}\sum^{n}_{k=0}\frac{(n-1)(n-2).......(n-k+1)}{k!\cdot n^{k}\cdot (k+3)}$

Ahora, ¿Cómo puedo solucionar después de eso, la Ayuda necesaria, Gracias

Answer 1

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

\begin{align} &\color{#f00}{\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n}{{n \choose k} \over n^{k}\pars{k + 3}}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n}{{n \choose k} \over n^{k}}\int_{0}^{1}x^{k + 2}\,\dd x = \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1}x^{2}\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\pars{x \over n}^{k}\,\dd x \\[3mm] = &\ \lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}x^{2}\pars{1 + {x \over n}}^{n}\,\dd x = \int_{0}^{1}x^{2}\expo{x}\,\dd x = \color{#f00}{\expo{} - 2} \end{align}

Answer 2

$$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{\binom{n}{k}}{n^k(k+3)} &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k(k+3)k!}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac1{(k+3)k!}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+1)(k+2)}{(k+3)!}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+2)(k+3)-2(k+3)+2}{(k+3)!}\\ &=\underbrace{\ \sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}\ }_{e-1}\underbrace{-2\sum_{k=2}^\infty\frac1{k!}+2\sum_{k=3}^\infty\frac1{k!}}_{-1}\\[3pt] &=e-2 \end{align} $$

Answer 3

Poner $\displaystyle u_{n,k}=\frac{(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^{k-1}}$$1\leq k\leq n$, y $u_{n,0}=1$, $u_{n,k}=0$ para $k\geq n+1$,tenemos $$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^{k-1}k!(k+3)}=\sum_{k\geq 0}\frac{u_{n,k}}{k!(k+3)}$$ Tenemos $0\leq u_{n,k}\leq 1$ todos los $n,k$, y para fija $k$, $u_{n,k}\to 1$ si $n\to +\infty$. Deje $\mu$ la medida en $\mathbb{N}$ tal que $\mu(\{n\})=1$ todos los $n$. A continuación, la función de $v_n$ definido por $\displaystyle v_n(k)=\frac{u_{n,k}}{k!(k+3)}$ $L^1(\mu)$ todos los $n$, para (simple) límite de la secuencia de $v$ definido por $\displaystyle v(k)=\frac{1}{k! (k+3)}$, y está delimitado por $w=v\in L^1(\mu)$ independiente de $n$. Por lo tanto, por el Teorema de Convergencia Dominada, conseguimos que los $\displaystyle S_n\to \sum_{k\geq 0}\frac{1}{k!(k+3)}$, que es fácil de calcular.

Answer 4

Uno puede hacer esto sin recurrir a la DCT, esencialmente la representación del problema mucho más elemental, si es complicada. Todos los pasos que a continuación se justifica porque las llevan a cabo a través de una suma finita.

Empezar por la reescritura de la suma de la siguiente manera

$$f(n):= \sum_{k=0}^n \binom nk \frac{n^{-k}}{k+3} = n^3 \sum_{k=0}^n \binom nk \frac{n^{-(k+3)}}{k+3} =: n^3 g(n) \tag{1}$$

Donde

$$ g(x) := \sum_{k=0}^n \binom nk \frac{x^{-(k+3)}}{k+3} = \int_{x}^\infty \sum_{k=0}^n \binom nk y^{-(k+4)} \mathrm{d}y = \int_x^\infty \left(1 + y^{-1}\right)^n y^{-4}\mathrm{d} y$$

La sustitución de $y^{-1} = t$ y un poco de integración por partes de los rendimientos

$$g(x) = \frac{x^{-2}\left(1+x^{-1}\right)^{n+1}}{n+1} -\frac{2x^{-1}\left(1+x^{-1}\right)^{n+2}}{(n+1)(n+2)} + \frac{2\left(1+x^{-1}\right)^{n+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)} - \frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)} \tag{2}$$

La alimentación de $(2)$ a $(1)$ y tomando el límite nos da

$$\lim_{n \to \infty} f(n) = e-2$$

(Lo cual está de acuerdo con la respuesta por Kelenner, junto con dar una expresión para $f(n)$ arbitrarias $n$)

Answer 5

Esta no es una respuesta pero es demasiado largo para un comentario.

Lo que me pareció interesante es que la forma cerrada expresiones pueden ser obtenidos para las sumas parciales desde $$S^{(j)}_n=\sum^{n}_{k=0}\frac{\binom{n}{k}}{n^k(k+j)}=\frac{\, _2F_1\left(j,-n;j+1;-\frac{1}{n}\right)}{j}$$ y a partir de ahí, los límites correspondientes y asymptotics.

Para el caso de que $j=3$ como en el post de $$S^{(3)}_n=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n (n+1) \left(n^2+n+2\right)-2 n^3}{(n+1) (n+2) (n+3)}=(e-2)+\frac{12-\frac{9}{2}e}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ Similarly $$S^{(2)}_n=\frac{n^2+(n+1) \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{(n+1) (n+2)}=1+\frac{e-3}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ $$S^{(4)}_n=\frac{6 n^4+\left(n \a la izquierda(n \left(-2 n^2+n+8\right)+11\right)+6\right) \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{(n+1) (n+2) (n+3) (n+4)}=(6-2 e)+\frac{22 e-60}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ donde aparecen patrones interesantes.

Sobre el límite, podemos encontrar que $$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} S^{(j)}_n=(-1)^j ((j-1)!-!(j-1)\,e)$$

Puede ser, la asymptotics podría ser de interés $$S^{(j)}_n=(-1)^j((j-1)!-!(j-1)\,e) +(-1)^{j+1}\frac{(j+1)!-!(j+1)\,e }{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

Para$j=3$$n=50$, el valor exacto es $\approx 0.71370532$, mientras que el asymptotics conduce a $\approx 0.71363646$.

Actualización

Tras esta pregunta de la mina, la asymptotics escribir $$S^{(j)}_n=(-1)^j\left(\left(\alpha_0-\beta_0e\right)-\frac{\left(\alpha_1-\beta_1e\right)}{2n}+\frac{\left(\alpha_2-\beta_2e\right)}{24n^2}\right)+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ with $$\alpha_0=(j-1)!\qquad \qquad \beta_0=!(j-1)$$ $$\alpha_1=(j+1)!\qquad \qquad \beta_1=!(j+1)$$ $$\alpha_2= 3\times(j+3)! - 8\times(j+2)! \qquad \qquad \beta_2=3\,\times\,!(j+3) - 8\,\times\,!(j+2)$$ Many thanks to achille hui who identified the sequence for $\beta_2$ and provided a nicer expression for $\alpha_2$.

Para$j=3$$n=50$, el valor exacto es $\approx 0.71370532$, mientras que el nuevo asymptotics conduce a $\approx 0.71370644$.