Aquí la pregunta es un poco más grande:
$$ \sum_{n = 1}^{\infty}{\binom{2n}{n} \frac{1}{5^n}} $$
Este es un ejemplo (no es un ejercicio) en mi libro de texto sobre cómo resolver sumas que implican los coeficientes binomiales. Entiendo casi todo el ejemplo, pero una parte de las pérdidas de mí.
En primer lugar, realizaremos:
$$ \binom{2n}{n} = \frac{1}{2 \pi i}\int_{C}{\frac{(1 + z)^{2n}}{(5z)^{n}}\frac{dz}{z}} $$
Hasta ahora tan bueno. Luego simplemente sustituir este valor para obtener:
$$ \sum_{n = 1}^{\infty}{\binom{2n}{n} \frac{1}{5^n}} = \frac{1}{2 \pi i} \sum_{n = 1}^{\infty}{\int_{C}{\frac{(1 + z)^{2n}}{(5z)^{n}}\frac{dz}{z}}} $$
A continuación, el libro dice que si podemos demostrar la convergencia es uniforme en la curva cerrada elegido, entonces podemos cambiar el orden de la suma y la integración. A continuación, el libro muestra que la convergencia es uniforme sobre el círculo unidad. Esto tiene sentido. Lo que sucede a continuación, aunque no entiendo del todo. Una vez que mostrar la convergencia en el círculo unidad en este estado simplemente esto:
$$ \sum_{n = 1}^{\infty}{\binom{2n}{n} \frac{1}{5^n}} = \frac{5}{2 \pi i}\int_C{\frac{dz}{3z - 1 - z^2}} $$
¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre la forma en que esta igualdad se deduce?
Gracias.
