Torres de energía: hasta el infinito y todo el camino de regreso

Question

En la siguiente, vamos a de $n$ ser un entero positivo, el resto de las variables reales (además, $a>1$), todas las funciones de valor real, y los logaritmos de los argumentos negativos ser indefinido.

Vamos

• $\log^n(x)$ denotar la iterada natural logaritmo (base $e$), con $x$ en la posición más interna,
• $\operatorname{pow}_a^n(x)$ denotar la iterada de exponenciación (base de $una$), con $x$ en la posición más interna,

donde el superíndice ${}^n$ a la derecha de un nombre de función indica el número de iteraciones de la función (no elevar su resultado a una potencia).

Más precisamente,

$\hspace{.2en}\begin{casos} \log^1(x) = \ln x \\ \log^{n+1}(x) = \log^n(\ln x) \end{casos}$

$\hspace{.2en}\begin{casos} \operatorname{pow}_a^1(x) = a^x \\ \operatorname{pow}_a^{n+1}(x) = \operatorname{pow}_a^n(a^x) \end{casos}$

Por ejemplo, $\log^3(x) = \ln \ln \ln x$ y $\operatorname{pow}_a^2(x) = a^{a^x}$.

Ahora definir

$$\boxed{\phantom{\Bigg|}\hspace{0,2} f_a(x) = \lim\limits_{n\to\infty} \log^n(\operatorname{pow}_a^n(x)) \hspace{0.25}}$$ En otras palabras, $f_a(x)$ es el límite de la sucesión $\{\ln a^x,\ \ln \ln^{a^x},\ \ln \ln \ln^{^{a^x}},\ \dots\}$. Tenga en cuenta que los primeros elementos de la secuencia puede ser simplificado, pero el próximo va a terminar con la repetición de una logaritmo de una suma con el resto de la energía de la torre que se encuentra dentro de: $\{x \ln a,\ x \ln a+\ln \ln a,\ \ln\left(a^x \ln a+\ln \ln\right)\ \ln \ln\left(a^{a^x}\ln a+\ln \ln\right)\ \dots\}$.

Obviamente, $f_e(x)=x$. El comportamiento de la función para otros valores de $a$ es más interesante.

Preguntas:

• Puede no trivial ($a \ne e$) valor de $f_a(x)$, con forma cerrada argumentos se expresa en una forma cerrada en términos de funciones elementales, cualquier conocimiento de funciones especiales, y cualquier conocimiento de constantes matemáticas?
• ¿Cuál es el dominio de $f_a(1)$? Es de $f_a(1)$ de una analítica de la función dentro de su dominio?
• ¿Cuál es el dominio de $f_2(x)$? Es de $f_2(x)$ una analítica de la función dentro de su dominio?
• ¿Cuál es el rango de $f_3(x)$?
• ¿Cuál es el valor de $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f_2(x)}{x}$, si es que existe? ¿Cuál es el comportamiento asintótico de $f_2(x)$ $x \to \infty$?
• ¿Cuál es el valor de $\lim\limits_{x \a\infty} f_3(x)$, si es que existe? ¿Cuál es el comportamiento asintótico de $f_3(x)$ $x \a\infty$?
• ¿Qué es la expansión de Taylor de $f_a(1)$ cerca $a=e$?

Answer 1

Puedo solucionar algunos $a > e$ y el uso de subíndices para $n$.

Definir $f_n(x) = \log^n(\operatorname{pow}_a^n(x))$, de modo que $f_0(x) = x$ y $f_{n+1}(x) = \log(f_n(a^x))$.

Desde $\log$ y $pow_a$ están aumentando, es fácil comprobar que el operador $T : f \mapsto \log \circ f \circ pow_a$ es "aumentar" en varias maneras : se toma el aumento de funciones funciones crecientes, y si $f \ge g$ en $\Bbb R^+$, entonces $T(f) \ge T(g)$ en $\Bbb R$. Por lo tanto, desde $f_0(x) = x$ es creciente, y $f_1(x) = \log(a^x) \ge \log(e^x) = f_0(x)$ para $x \in \Bbb R^+$ todos $f_n$ son funciones crecientes de $x$ y $(f_n)$ es un aumento de la secuencia de funciones : $f_{n+1}(x) \ge f_n(x)$ excepto para $x < 0$ y $n = 0$.

Por lo tanto, $\forall x \in \Bbb R, f_n(x) \ge f_1(x) = (\log a) x$.

Siguiente, mirando lo $T$ hace afín a las funciones ($L_{A,B}(x) = Ax+B$), podemos encontrar una afín límite superior para todos los $f_n$ para lo suficientemente grande como $x$ : $T(L_{A,B})(x) = \log(Aa^x+B)$ y $\log(Aa^x) = \log a + x \log a = L_{\log a,\log}(x)$. Finalmente, las comparaciones simples muestra que $L_{\log a, \log}(x) \le T(L_{A,B})(x) \le L_{\log a, \log}(x) + B/(Aa^x)$

Deje que $A = \log a > 1$, y dejar que $B = (\log A)/(1-1/A)$.
Entonces para $x \ge 0$, $L_{\log a, \log}(x) + B/(Aa^x) \ge L_{\log a, \log}(x) + B/A = L_{A, B}(x)$.

Ahora podemos demostrar por inducción que a partir de $f_1 = L_{A,0}$, obtenemos $L_{A,\log A} \le f_n \le L_{A,B}$ forall $x \ge 0$ y $n \ge 2$.
Como para $x \le 0$ tenemos$L_{A,\log A} \le f_n$ para $n \ge 2$, y $f_n(x) \le L_{A,\log A} + B/(Aa^x)$ para $n \ge 3$.

Esto le da un uniforme obligado en todos los $f_n$, lo que demuestra que $f(x)$ existe forall $x \in \Bbb R$. Tenemos que $f$ es creciente, $f(x) \ge Ax$, $\lim_{x \+\infty} f(x)/x = a$ y $f$ satisface la ecuación funcional de $f = T(f)$, o $e^{f(x)} = f(a^x)$.

Como para el negativo de $x$, $\lim_{x \a \infty} f(x) = \lim_{x \a \infty} \log(f(a^x)) = \lim_{x \to 0} \log(f(0)) \ge \log(f(0))$, con igualdad si $f$ es continua en $0$.