Condiciones de la propiedad de la intersección finitamente generado

Question

Al ir a través de Gratzer "General de la Celosía de la Teoría", me sorprendí al aprender (a través de algún ejercicio) que la intersección de dos finitely generado subgrupos no es necesariamente finitely generado. Al parecer, un grupo para el que se cumple esta condición se dice que tiene la "Finitely Generado por la Intersección de la Propiedad" (FGIP). Algunas rápida en Google-ción de los rendimientos de algunos papeles que tienen resultados para los casos específicos, pero poco en lo que respecta a la propiedad, en el caso general.

Mi pregunta es esta: ¿Qué se puede decir en el caso general acerca de la FGIP? Hay algunos conocidos necesaria y suficiente de los criterios que un grupo debe poseer para el FGIP propiedad para contener? O es esta propiedad demasiado vago para su consideración en el caso general?

Gracias de antemano!

EDITAR: Creo que las siguientes preguntas son naturales y en relación a mi post original. Pueden ser equivalentes a variaciones de la misma pregunta, pero no estoy seguro por mi parte. Me disculpo si son redundantes.

(1) Dado un grupo G y dos específicos finitely generado por subgrupos H y K, existen las condiciones necesarias y suficientes en cuanto a si la intersección de H y K es finitely generado?

(2) debido a un arbitrario del grupo G, es un decidable problema de determinar si posee FGIP?

(3) ¿hay algún conocido contra-ejemplos de (2), es decir, un grupo para el que el problema de determinar si el grupo posee FGIP es indecidible?

Answer 1

Sólo puedo responder a número 2. Es indecidible para determinar si un grupo de $G$ ha FGIP, desde FGIP es una Propiedad de Markov para grupos.

Una propiedad $P$ de los grupos (grupo de presentaciones) se dice que tiene la Propiedad de Markov si

1. Existe un grupo de $G$ propiedad $P$,
2. Existe un grupo de $H$ que no es isomorfo a un subgrupo de un grupo con propiedad $P$ ($H$ no puede ser embebido en un grupo con propiedad $P$.)

Hay un teorema por Adion y Rabin (1955/58), el cual dice: Si $P$ tiene la propiedad de Markov, entonces no existe ningún algoritmo para decidir si una presentación $G=\langle A\vert R\rangle $ propiedad $P$.

Así que, a ver que FGIP es de Markov, vamos a $H$ ser un grupo que no tiene FGIP. (Un ejemplo de esto es $\pi _1 (\Sigma_2 \times S^1)$ donde $\Sigma_2$ es una superficie.) A continuación, supongamos $H\cong J\leq K$ $K$ tiene el FGIP. Ahora vamos a $A,B$ ser finitely generado subgrupos de $H$ $\overline{A},\overline{B}$ ser los correspondientes subgrupos de $J$. A continuación, $\overline{A},\overline{B}$ son también finitely generado y puesto que son subgrupos de $K$, $\overline{A}\cap \overline{B}$ es finitely generado. Esto implica que $A\cap B$ es finitely generado, lo que implica $H$ ha FGIP, lo cual es una contradicción. Por lo tanto FGIP es de Markov y el teorema se aplica.