¿Hay un nombre para este tipo de norma de vector?

Question

En el caso de la norma de $\mathcal{l}_2$ que tenemos,

$$||\mathbf{x}||_2^2=\mathbf{x}^T\mathbf{x}.$$

Me preguntaba si había un tipo de norma que tuvo una operación lineal integrada en él, como este,

$$||\mathbf{x}||^2_A=\mathbf{x}^T A \mathbf{x},$$

donde A es una matriz real.

Answer 1

Eso es sólo una norma si $A$ es positiva definida. Si $A$ es positiva definida, entonces llamaría a lo que describes "la norma de $A$".

Answer 2

Lo que estás buscando se asocia generalmente a una forma bilineal, además le decimos:

Un scalarproduct en un espacio verdadero del vector $V$ (inducido por una forma bilineal $B$) es una forma bilineal definida simétrica, no degenerado, positivo. Un scalarproduct entonces induce una norma.

Si estamos ante un espacio verdadero dimensional finito del vector, podemos entonces también escribir

$$ B = < x, x > _B = x ^ tBx $$

Answer 3

Creo que lo mejor que puede decir es que $||\cdot||_A$ es una norma inducida por un producto interno.

(No todas las normas son así.)

El % de matriz $A$es la matriz de Gram de ese producto interno con respecto a la base canónica de $\mathbb R^n$ ($A$ es positiva definida).