¿Cómo demostrar la igualdad de estas representaciones integrales de $\pi$?

Question

Cada uno de los tres siguientes integrales definidas son bien conocidos que tienen el mismo valor de $\pi$: $$\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=2\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\pi.$$

Me gusta tener el primer lugar de la integral definida como la definición de $\pi$, ya que representa la mitad de la circunferencia del círculo unitario. La segunda integral, obviamente, representa el área del círculo unitario, sino como un ejercicio que yo quería demostrar su igualdad con la forma #1 utilizando sólo la integración de primaria de las reglas. Que fue un éxito una vez traté de integración por partes:

$$\begin{align} \int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x &=x\sqrt{1-x^2}-\int\frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x\\ &=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x-\int\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x\\ &=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x-\int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x\\ \implies2\int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x&=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x\\ \implies2\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x&=\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x. \end{align}$$

Después de haber logrado esto, decidí que me gustaría demostrar la igualdad de estas dos integrales a $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$ así, en una forma similar primaria manera, pero estoy perplejo en cuanto a lo intente. Puede alguien sugerir una sustitución o transformación, que demuestra su igualdad?

Answer 1

Éstos son ambos inmediata utilizando dos subsitutions. Todo es aún, así que dividir todas ellas en $0$.

$$\begin{aligned} t=\sqrt{1-x^2}:\quad\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \int_0^1 2\sqrt{1-t^2}\,dt\end{aligned}$$

Y:

$$\begin{aligned} t=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}:\quad\int_0^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \int_0^{\infty}\frac{dt}{1+t^2}\end{aligned}$$

Answer 2

Dejar

Answer 3

Si en la tercera integral dejas $x=\tan(t)$, se obtiene

$$ I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 dt. $$

Si, en la segunda integral, hacer la sustitución de $x=\sin(u)$, se obtiene $$ I_2 = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 t ~ dt. $$

Alternativamente, sustituto $x = \cos(u)$ para obtener $$ I_2 = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 t ~ dt. $$

Así que la combinación de estos dos últimos,

$$ I_2 = \frac{1}{2} \left (2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 t ~ dt + 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 t ~ dt \right) \\ = \frac{1}{2} \left (2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 t + \cos^2 t~ dt \right) \\ = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1~ dt $$

por lo tanto el segundo y tercer integrales son iguales, como usted quería.

No es completamente satisfactorio, pero un cambio a partir de la integración de $-1$ $1$a de la integración de $-\infty$ $\infty$es probable que haga algo como una tangente en la sustitución de la general, así que no es muy sorprendente ver esta ruta de trabajo.