Biyección que preserva las líneas debe ser lineal

Question

Ha habido algunos posts anteriores sobre este tema, pero no proporciona una respuesta completa. Es decir, si T es una biyección del plano euclidiano que segmentos de línea se asigna a los segmentos de línea (setwise) T es una transformación afín, en el sentido de álgebra lineal. ¿Qué es la prueba más elemental de este hecho?

Answer 1

Tres puntos $u$, $v$ y $w$ en el plano son colineal iff la Unión de la línea segmentos $[u, v]$, $[u, w]$ y $[v, w]$ es en sí mismo un segmento de línea. Así que una biyección del plano a sí mismo que segmentos de línea se asigna a los segmentos de línea conserva colinealidad. Ver Bijection $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ conserva colinealidad $\iff \ \ f(x)=Ax+b$ para el resto del argumento.