$\left(\frac{a^2+d^2}{a+d}\right)^3+\left(\frac{b^2+c^2}{b+c}\right)^3\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^3+\left(\frac{c+d}{2}\right)^3$

Question

Probar: $$\left(\frac{a^2+d^2}{a+d}\right)^3+\left(\frac{b^2+c^2}{b+c}\right)^3\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^3+\left(\frac{c+d}{2}\right)^3$ $ $a,b,c,d>0$

Answer 1

Sé que ha pasado muchas veces, sin embargo se me ocurrió una solución y espero que sea correcto: aquí se encuentran:

Déjenos denotan %#% $ #%

Y queremos probar $$\begin{array}{c}\frac{1}{4}\frac{(b+c)^3}{2}(8(a^2+d^2)^3-(a+d)^3(a+b)^3)+\\\frac{1}{4}\frac{(a+d)^3}{2}(8(b^2+c^2)^3-(c+d)^3(c+b)^3)=(\clubsuit)\end{array}$

Recordamos $(\clubsuit)\geq0.$ $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ y así $(\spadesuit)$ $

Que son costants no negativo función $$\begin{array}{c}(\clubsuit)=(2(a^2+d^2)-(a+d)(a+b))C_1+2((b^2+c^2)-(c+d)(c+b))C_2\geq\\ \min\{C_1,C_2\}\cdot(2(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+d)(a+b)-(c+d)(c+d)).\end{array}$ $C_1,C_2$ y puede ser derivado fácilmente después de $a,b,c,d$

Pero ahora es cierto $(\spadesuit)$ $ desde %#% $ #%

Entonces tenemos estabilished $$2(a^2+b^2+c^2+d^2)-a^2-ab-ad-bd-c^2-cd-cb-bd\geq 0,$. Pero es fácil demostrar que esta relación implica $$\begin{eqnarray} b^2+d^2&\geq& 2bd,\\\frac{a^2+d^2}{2}&\geq& ad,\\ \frac{c^2+d^2}{2}&\geq& cd,\\\frac{c^2+b^2}{2}&\geq&cb,\\\frac{a^2+b^2}{2}&\geq&ab,\\a^2&\geq&a^2,\\c^2&\geq&c^2.\end{eqnarray}$$(\clubsuit)\geq 0$% $ $$(a^2+d^2)^3(b+c)^3+(b^2+c^2)^3(a+d)^3\geq\frac{(a+b)^3(a+d)^3(b+c)^3}{8}+\frac{(c+d)^3(a+d)^3(b+c)^3}{8}$como se desee.