Si $A$ y $B$ son eventos independientes, y $A$ y $C$ son eventos independientes, ¿cómo puedo demostrar que $A$ y $B\cup C$ son independientes?

Question

Dejemos que $A$ y $B$  sean eventos independientes, y que $A$  y $C$ sean eventos independientes. ¿Cómo puedo demostrar que $A$  y $B\cup C$ ¿también son eventos independientes?

Según la definición de eventos independientes, $A$  y $B\cup C$ son independientes si y sólo si $$P(A\cap (B\cup C)) = P(A)P(B\cup C).$$

Desde $A$ y $B$  y $A$ y $C$  son independientes, sé que $$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad\text{and}\quad P(A\cap C)=P(A)P(C).$$

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo resolver esto. He intentado aplicar las reglas de probabilidad que conozco pero no he conseguido nada.

Answer 1

Dejemos que $A$ y $B$ sean eventos independientes, y que $A$ y $C$ sean eventos independientes. ¿Cómo puedo demostrar que $A$ y $B\cup C$ ¿también son eventos independientes?

No se puede demostrar este resultado porque no se cumple para todos los $A, B, C$ disfrutando de estas propiedades. Consideremos el siguiente contraejemplo.

Considere dos lanzamientos independientes de una moneda justa. Sea $B=\{HT,HH\}$ y $C=\{HT,TT\}$ son los eventos de que el primer y segundo lanzamiento resultaron en Cara y Cruz respectivamente. Sea $A=\{HT,TH\}$ es el caso de que exactamente un lanzamiento resulte en Cara.

Entonces, $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ mientras que $P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$ y así $A$ y $B$ son eventos independientes al igual que $A$ y $C$ eventos independientes. De hecho, $B$ y $C$ también son eventos independientes eventos independientes (es decir, $A$ , $B$ y $C$ son por parejas eventos independientes). Sin embargo, $$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cup C)=\frac 34 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cup C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$$ y así $A$ y $B\cup C$ son dependiente eventos.

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Dejando de lado nuestro contraejemplo, consideremos qué condiciones son necesarias para que $A$ y $B\cup C$ eventos independientes. Las otras respuestas ya han hecho el trabajo por nosotros. Tenemos que \begin{align} P(A\cap (B\cup C)) &= P((A\cap B) \cup (A\cap C))\\ &= P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(((A\cap B) \cap (A\cap C))\\ &= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A\cap B \cap C)\\ &= P(A)\left(P(B) + P(C) - P(B\cap C)\right) + \left(P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right)\\ &= P(A)P(B\cup C) + \left[P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right] \end{align} y así $P(A\cap (B\cup C))$ es igual a $P(A)P(B \cup C)$ (como es necesario para demostrar que $A$ y $B\cup C$ son eventos independientes) exactamente cuando $P(A)P(B\cap C)$ es igual a $P(A\cap B \cap C) = P(A\cap (B\cap C))$ , es decir, cuando $A$ y $B\cap C$ son eventos independientes.

$A$ y $B\cup C$ son eventos independientes siempre que $A$ y $B\cap C$ son eventos independientes.

Tenga en cuenta que si $B$ y $C$ son independientes o no, no es relevante para la cuestión que nos ocupa: en el contraejemplo anterior, $B$ y $C$ fueron eventos independientes y sin embargo $A = \{HT, TH\}$ y $B\cap C = \{HT\}$ eran no son eventos independientes. Por supuesto, como señaló Deep North, si $A$ , $B$ y $C$ son mutuamente eventos independientes (lo que requiere no sólo la independencia de $B$ y $C$ sino también para $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ para mantener), entonces $A$ y $B\cap C$ son realmente eventos independientes. La independencia mutua de $A$ , $B$ y $C$ es un suficiente condición.

De hecho, si $A$ y $B\cap C$ son eventos independientes, entonces, junto con con la hipótesis de que $A$ y $B$ son independientes, al igual que $A$ y $C$ eventos independientes, podemos demostrar que $A$ es independiente de todo $4$ de los eventos $B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$ , es decir, de todos los $16$ eventos en el $\sigma$ -generada por $B$ y $C$ uno de estos eventos es $B\cup C$ .

Answer 2

Dos cosas.

1) ¿Hay alguna forma que conozcas de reescribir el evento $A \cap (B\cup C)$ . Intuitivamente, sabemos cómo interactúan A,B y A,C, pero no sabemos cómo interactúan B,C. Así que $(B\cup C)$ se interpone en nuestro camino.

2) ¿Hay alguna forma que conozcas de reescribir $P(X\cup Y)$ ?

Incluso si no obtienes inmediatamente la respuesta, edita tu respuesta con las respuestas a estas preguntas y seguiremos a partir de ahí.

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Por favor, compruébelo. Creo que tengo un contraejemplo.

Tirar un dado para obtener X.

A: X < 4

B: X en {1, 4}

C: X en {1, 5}

Answer 3

Según el comentario de Dilip Sarwate, es evidente que estos acontecimientos no son independientes.

La forma típica en que trataría de demostrar la independencia procede así:

\begin{align*} P(A, B \cup C) & = P(\{A, B\} \cup \{A, C\}) & \text{distributive property} \\ & = P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) & \text{sum rule} \end{align*}

y aquí le gustaría el factor $P(A)$ de la expresión para establecer la propiedad $P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$ que sería suficiente para demostrar la independencia. Sin embargo, si tratas de hacer eso aquí, te quedas atascado:

$$ P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) = P(A) \{ P(B) + P(C) - P(B,C \, | \, A) \} $$

Obsérvese que la expresión con corchetes es casi $P(B) + P(C) - P(B,C)$ que te llevaría a tu objetivo. Pero no tiene información que le permita reducir $P(B,C \, | \, A)$ más.

Tenga en cuenta que en mi respuesta original había afirmado descuidadamente que $P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$ y, por lo tanto, afirmó erróneamente que el resultado que se pedía demostrar era verdadero; ¡es fácil meter la pata!

Pero dado que resulta difícil demostrar la independencia de esta manera, un buen paso siguiente es buscar un contraejemplo, es decir, algo que falsifique la afirmación de independencia. El comentario de Dilip Sarwate en la OP incluye exactamente un ejemplo de este tipo.

Answer 4

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

Ahora, tenemos que mostrar $P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

Si $A, B,C$ son mutuamente independientes, los resultados son obvios.

Si bien la condición es $A$ y $B$ son independientes y $A$ y $C$ son independientes no garantizan la independencia de $B$ y $C$

Por lo tanto, es posible que el PO tenga que reexaminar la condición de la pregunta.

Answer 5

P{A(B+C)}=P(AB+BC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC) =P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(BC) [A,B,C son mutuamente independientes] =P(A)[P(B)+P(C)-P(BC)] =P(A)P(B+C) Por tanto, A y B+C son independientes.