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La Ecuación diferencial de la Forma dydx=sin(x+y)

He estado tratando de resolver la anterior ecuación diferencial por algún tiempo ahora, y me quedo atascado en un paso. Después de la sustitución de u=x+y, separando las variables e integrando ambos lados, me quedo con sin(u)1cos(u)=x+c I have to solve for y, and thus, for u, pero no puedo pensar en ninguna identidad que me ayuda aquí. Cualquier ayuda se agradece.

He seguido el paso de la solución, y establecer tan(u2)1tan(u2)+1=x+c Then, I used the substitution z=11+tan(u2), which led to 12z=c+x, which in turn, simplified to z=12c2x2. Then, substituting back: u=2arctan(1112c2x2) Thus, for all nZ, the solution of the differential equation is y=x2arctan(c+x+1c+x1)+2πn Is my process correct, and do I require the 2πn generalización en mi expresión final?

Edit: La solución se puede expresar también en forma indefinida como tan(x+y)sec(x+y)=x+c

3voto

Matthew Scouten Puntos 2518

Tenga en cuenta que sin(u)1cos(u)=sin(u/2)cos(u/2)sin(u/2)+cos(u/2)=tan(u/2)1tan(u/2)+1

2voto

mickep Puntos 10981

Permítanme esbozar un enfoque diferente a esta ecuación diferencial, que usted podría considerar útil en otro momento:

La diferenciación de la ecuación diferencial da y"=\cos(x+y)(1+y'). Así (y")^2=\cos^2(x+y)(1+y')^2=(1-\sin^2(x+y))(1+y')^2=(1-y')(1+y')^3. A continuación, vamos a v=y'. Usted tiene la ecuación diferencial separable \pm\frac{v}{\sqrt{(1-v)(1+v)^3}}=1, así \pm\frac{1-v^2}{\sqrt{(1-v)(1+v)^3}}=x+C_1. La solución para v, nos encontramos con que v=\frac{1-C_1^2-2C_1x-x^2}{1+C_1^2+2C_1x+x^2}. Volviendo a la y'=v e integrar, nos encontramos con que y(x)=2\arctan(x+C_1)-x+C_2. Este es uno de los constantes demasiado (que tenemos que pagar a causa de la diferenciación en el principio). Con x=0, obtenemos y'(0)=\sin y(0). Esto le permite expresar C_2 en términos de C_1.

0voto

TroyHaskin Puntos 126

La solución puede ser simplificado mediante el uso de la identidad

1+\sin(x) = 2 \cos^2\!\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)

A continuación, después de la separación y de la integración, que tendrá

\tan\left(\frac{u}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = x + c

y, finalmente,

y = 2\,\,\text{arctan}(x+c) + \frac{\pi}{2} - x

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