La Ecuación diferencial de la Forma $\frac{dy}{dx}=\sin(x+y)$

Question

He estado tratando de resolver la anterior ecuación diferencial por algún tiempo ahora, y me quedo atascado en un paso. Después de la sustitución de $u=x+y$, separando las variables e integrando ambos lados, me quedo con $$\frac{\sin(u)-1}{\cos(u)}=x+c$$ I have to solve for $y$, and thus, for $u$, pero no puedo pensar en ninguna identidad que me ayuda aquí. Cualquier ayuda se agradece.

He seguido el paso de la solución, y establecer $$\frac{\tan(\frac{u}{2})-1}{\tan(\frac{u}{2})+1}=x+c$$ Then, I used the substitution $z=\frac{1}{1+\tan(\frac{u}{2})}$, which led to $1-2z=c+x$, which in turn, simplified to $z=\frac{1}{2}-\frac{c}{2}-\frac{x}{2}$. Then, substituting back: $$u=-2\arctan\left(1-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{c}{2}-\frac{x}{2}} \right)$$ Thus, for all $n \in \mathbb Z$, the solution of the differential equation is $$y=-x-2\arctan\left(\frac{c+x+1}{c+x-1}\right)+2\pi n$$ Is my process correct, and do I require the $2\pi n$ generalización en mi expresión final?

Edit: La solución se puede expresar también en forma indefinida como $$\tan(x+y)-\sec(x+y)=x+c$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\dfrac{\sin(u)-1}{\cos(u)} = \dfrac{\sin(u/2)-\cos(u/2)}{\sin(u/2)+\cos(u/2)} = \dfrac{\tan(u/2)-1}{\tan(u/2)+1}$$

Answer 2

Permítanme esbozar un enfoque diferente a esta ecuación diferencial, que usted podría considerar útil en otro momento:

La diferenciación de la ecuación diferencial da $$y"=\cos(x+y)(1+y').$$ Así $$(y")^2=\cos^2(x+y)(1+y')^2=(1-\sin^2(x+y))(1+y')^2=(1-y')(1+y')^3.$$ A continuación, vamos a $v=y'$. Usted tiene la ecuación diferencial separable $$\pm\frac{v}{\sqrt{(1-v)(1+v)^3}}=1,$$ así $$\pm\frac{1-v^2}{\sqrt{(1-v)(1+v)^3}}=x+C_1.$$ La solución para $v$, nos encontramos con que $$v=\frac{1-C_1^2-2C_1x-x^2}{1+C_1^2+2C_1x+x^2}.$$ Volviendo a la $y'=v$ e integrar, nos encontramos con que $$y(x)=2\arctan(x+C_1)-x+C_2.$$ Este es uno de los constantes demasiado (que tenemos que pagar a causa de la diferenciación en el principio). Con $x=0$, obtenemos $y'(0)=\sin y(0)$. Esto le permite expresar $C_2$ en términos de $C_1$.

Answer 3

La solución puede ser simplificado mediante el uso de la identidad

$$1+\sin(x) = 2 \cos^2\!\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$

A continuación, después de la separación y de la integración, que tendrá

$$\tan\left(\frac{u}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = x + c$$

y, finalmente,

$$y = 2\,\,\text{arctan}(x+c) + \frac{\pi}{2} - x$$