He estado tratando de resolver la anterior ecuación diferencial por algún tiempo ahora, y me quedo atascado en un paso. Después de la sustitución de $u=x+y$, separando las variables e integrando ambos lados, me quedo con $$\frac{\sin(u)-1}{\cos(u)}=x+c$$ I have to solve for $y$, and thus, for $u$, pero no puedo pensar en ninguna identidad que me ayuda aquí. Cualquier ayuda se agradece.
He seguido el paso de la solución, y establecer $$\frac{\tan(\frac{u}{2})-1}{\tan(\frac{u}{2})+1}=x+c$$ Then, I used the substitution $z=\frac{1}{1+\tan(\frac{u}{2})}$, which led to $1-2z=c+x$, which in turn, simplified to $z=\frac{1}{2}-\frac{c}{2}-\frac{x}{2}$. Then, substituting back: $$u=-2\arctan\left(1-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{c}{2}-\frac{x}{2}} \right)$$ Thus, for all $n \in \mathbb Z$, the solution of the differential equation is $$y=-x-2\arctan\left(\frac{c+x+1}{c+x-1}\right)+2\pi n$$ Is my process correct, and do I require the $2\pi n$ generalización en mi expresión final?
Edit: La solución se puede expresar también en forma indefinida como $$\tan(x+y)-\sec(x+y)=x+c$$