Yo quiero probar la afirmación:
La única cuadrática subcampo de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ al $p \equiv 1 \pmod{4}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ al $p \equiv 3 \pmod{4}$.
Mi primer intento es este. En $\mathbb{Z}[\zeta_p]$, $1-\zeta_p$ es el primer y $$ p = \epsilon^{-1} (1-\zeta_p)^{p-1} $$ donde $\epsilon$ es una unidad. Desde $p$ es una extraña prime, $(p-1)/2$ es un número entero y $$ \sqrt{\epsilon p } = (1-\zeta_p)^{(p-1)/2} $$ tiene sentido y que pertenece a $\mathbb{Z}[\zeta_p]$.
¿Cómo lidiar con la $\epsilon$ bajo la raíz cuadrada? Supongo que la condición en la congruencia de la clase de $p$ proviene de que. ¿Ésta es la manera correcta de proceder?
La singularidad no está claro para mí. He pensado en buscar en la valoración $v_p$$\mathbb{Q}$, la ampliación a dos posibles extensiones cuadráticas debajo de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$, luego de ver cómo aquellos que tienen que ampliar para el común de las valoraciones en $\mathbb{Q}(\zeta_p)$, pero no veo cómo hacer que funcione.
Agradecería un poco de ayuda.
