Comportamiento anómalo de un límite particular

Question

Dada una secuencia de números reales $r$ tal que $\lim_{n\to\infty}r_n^\frac{1}{n}=1$, ¿qué podemos decir sobre $\lim_{n\to\infty}r_n$?

Si $\lim_{n\to\infty}r_n^\frac{1}{n}=0.99$, entonces $r_n=0.99^n$, por lo tanto $\lim_{n\to\infty}r_n=0$.

Y si $\lim_{n\to\infty}r_n^\frac{1}{n}=1.01$, entonces $r_n=1.01^n$, por lo tanto $\lim_{n\to\infty}r_n=\infty

Pero en el caso de $\lim_{n\to\infty}r_n^\frac{1}{n} = 1$, no estoy seguro de qué se puede concluir sobre $\lim_{n\to\infty}r_n$

Answer 1

Nada se puede decir sobre $\lim_{n\to\infty}r_n$: puede ser $+\infty$ como para $r_n=n$, puede ser cero como para $r_n=\frac{1}{n}$, puede ser cualquier número intermedio como para $r_n=r\in(0,+\infty)$ o puede que no exista como para $r_n=2+\sin(n)$.

P.D. Para manejar los límites anteriores, reescribe $r_n^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln r_n}$ y observa que $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\ln r_n=0$.

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EDICIÓN: Para hacerlo más claro, consideremos la siguiente clase de secuencias $r_n$ $$\frac{c}{n}\le r_n\le C\cdot n$$ con cualquier constante positiva $c$ y $C$. Es una clase bastante amplia, ya que $r_n$ puede variar desde tender a cero (como $1/n$) hasta tender a infinito (como $n$), pudiendo ser posible cualquier límite intermedio. También hay secuencias oscilantes en la clase que no tienen límite. Ahora, toma el logaritmo de esta desigualdad y divide por $n$ $$\ln c -\ln n\le \ln r_n\le \ln C+\ln n\qquad\Rightarrow\qquad \underbrace{\frac{\ln c}{n} -\frac{\ln n}{n}}_{\to 0}\le \frac{\ln r_n}{n}\le \underbrace{\frac{\ln C}{n}+\frac{\ln n}{n}}_{\to 0}.$$ Dado que ambos lados tienden a cero cuando $n\to\infty$, por el teorema del empuje obtenemos que la parte media también tiende a cero, por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}r_n^{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}e^{\frac1n\ln r_n}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac1n\ln r_n}=1.$$ Conclusión: el límite de la raíz $n^\text{th}$ es igual a uno para una enorme clase de secuencias $r_n$ que pueden tener cualquier límite entre $0$ y $+\infty$ o ninguno.

Answer 2

Realmente no se puede hablar de secuencias con límite 1, ya que si consideramos x(n)=n, y y(n)=1/n, tenemos que n^(1/n) y 1/(n^(1/n)) convergen a 1. Prueba: Consideremos z(n) = n^(1/n). Definimos b(n) + 1 = z(n), entonces n = (1 + b(n))^n, por lo tanto, mediante la expansión de (a+b)^n, obtenemos (1 + b(n))^n > [n(n-1)/2]*(b(n)^2), por lo que 2/(n-1) > (b(n)^2) > 0, entonces por la Propiedad Arquimediana, {2/n-1} converge a 0, {0} converge a 0, por lo que por el Lema del Sándwich, tenemos que {b(n)^2} converge a 0, entonces {b(n)} converge a 0 (Fácil de demostrar). Por lo tanto, z(n) converge a 1 + 0 = 1, mediante Álgebra de Secuencias Convergentes. Además, w(n) = y(n)^(1/n) ahora converge a 1/1 = 1. Por lo tanto, mientras ambas cumplen la hipótesis, x(n) diverge (N no tiene límite superior), mientras que y(n) converge a 0, mediante la Propiedad Arquimediana.