Deje $(X,\tau)$ $(Y,\sigma)$ ser espacios topológicos y deje $(X\times Y,\tau\times\sigma)$ ser el espacio con el cuadro de la topología. Ya que nunca he oído hablar de él supongo que no hay ningún espacio $X\otimes Y$ con un bicontinuous (que es separadamente continua aquí, no homeomorphism) mapa de $\mu$ que si $f$ es bicontinuous entonces existe un único mapa continuo $\varphi$ hacer el diagrama conmuta. $\require{AMScd}$ \begin{CD} X\times Y @>\mu>> X\otimes Y\\ @V f V V\# @VV \exists!\varphi V\\ Z @= Z \end{CD} Cómo probar que tal $X\otimes Y$ en general no existe?
Respuesta
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La noción general de una "bimorphism" y la clasificación de producto tensor ha sido estudiado en el papel
B. Banaschewski y E. Nelson. Tensor de productos y bimorphisms. Canadá. De matemáticas. Toro, 19(4):385-402, 1976.
Contiene un teorema general que muestra que el tensor de productos "casi siempre" existe. En el caso de los espacios topológicos, la obra se presenta de la siguiente manera:
En primer lugar, considerar el subproducto $P=\coprod_{x \in X} Y \sqcup \coprod_{y \in Y} X$. Para cada una de las $x \in X$ tenemos una inclusión $i_x : Y \to P$. Para cada una de las $y \in Y$ tenemos una inclusión $j_y : X \to P$. Definir $X \otimes Y$ a ser el cociente del espacio de $P/{\sim}$ donde $i_x(y) \sim j_y(x)$. Obviamente, esto satisface la necesaria universal de los bienes. Observe que el conjunto subyacente de $X \otimes Y$ es sólo $\{(x,y) : x \in X, y \in Y\}$, y la topología que se ve de la siguiente manera: Un subconjunto $U$ es abierto si para cada a $x \in X$ el conjunto $\{y \in Y : (x,y) \in U\}$ está abierto en $Y$, y para cada $y \in Y$ el conjunto $\{x \in X : (x,y) \in U\}$ está abierto en $X$.
Si aplicamos este tipo de construcción a la categoría de módulos, también obtenemos una alternativa de construcción del producto tensor de módulos (SE/291644).
