La evaluación de $1/2^2 + 1/5^2 + 1/8^2 + 1/11^2 + \ldots$

Question

Había estado divirtiendo a la evaluación positiva de potencias enteras de los recíprocos de los triangular y hexagonal números.

Actualmente, estoy tratando de hacer lo mismo para los números pentagonales, pero me he topado con una pared tratando de evaluar los anteriores de la serie.

(Por CIERTO, si el "salto" había sido el cuarto número en lugar de cada tres, puedo obtener expresiones en términos de $\zeta(2)$ y del catalán constante.)

Answer 1

Como se señaló, sólo tenemos esto en términos de la función trigamma $$ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(3 n + 2)^{2}} = \frac{1}{9}\Psi' \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr) $$ Pero no es esto mejor que uno: $$ \sum_{n = -\infty}^{\infty} \frac{1}{(3 n + 2)^{2}} = \frac{4\pi^2}{27} $$