Canónica de isomorfismo entre el $\mathfrak{so}(3)$ $\mathbb R^3$ con el vector producto vectorial

Question

Hay un conocido isomorfismo entre la Mentira álgebra $\mathfrak{so}(3)$$\mathbb{R}^3$, el cual se asigna la Mentira de soporte para el vector producto vectorial. Parece

$$ \begin{pmatrix} 0 & -z &y\\ z & 0 & -x\\ -y & x & 0 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}. $$

No es más una descripción geométrica de este isomorfismo, que a grandes rasgos consiste en la identificación de $\mathbb{R}^3$ $\Lambda^2(\mathbb{R}^3)$ a través de la estrella de Hodge, y la identificación de $\mathfrak{so}(3)\subseteq \operatorname{End}(\mathbb{R}^3)\cong\mathbb{R}^3\otimes(\mathbb{R}^3)^*$$\Lambda^2(\mathbb{R}^3)$.

Si usted trabaja en $\mathbb{R}^3$ con su base canónica, canónica interior del producto, y la orientación canónica, es fácil ver que estos isomorphisms rendimiento especificado resultado. Ahora estoy tratando de verificar los detalles de estas identificaciones para un general de espacio vectorial (con dim = 3 inyecta en el argumento cuando sea necesario), dando a todos la isomorphisms explícitamente y sin elegir una base. He encontrado este excelente respuesta por Qiaochu Yuan a ser útil para algunos uno de los pasos.

Déjame caminar a través de los pasos, como los veo:

1. Primero vamos a establecer la notación. Deje $V$ ser arbitraria real espacio vectorial con producto interior $g$ y un volumen $\Omega$. El automorphism grupo $SO(V)=\{O\in \operatorname{Aut}(V)\mid g(Ov,Ow)=g(v,w)\}$ Mentira álgebra $\mathfrak{so}(V)=\{X\in \operatorname{End}(V)\mid g(Xv,w)+g(v,Xw)=0\}$
2. Por lo tanto, el mapa definido por $\tilde{\alpha}(X)=\operatorname{eval}(\flat\circ X\otimes\operatorname{id})\colon v\otimes w\mapsto g(Xv,w)$ es sesgar-simétrica. Aquí $\operatorname{eval}$ es el mapa evaluación $V\otimes V^*$ que se lleva a $v\otimes\sigma\mapsto \sigma(v)$, e $\flat$ es el isomorfismo canónico $V\to V^*$ inducida por el no-degenerada forma bilineal $g$, dado por $u\mapsto (v\mapsto g(u,v))$.
3. Desde $\tilde{\alpha}(X)\colon V\otimes V\to \mathbb{R}$ es sesgar-simétrica, los factores de un mapa de $\alpha(X)\colon\Lambda^2(V)\to\mathbb{R}$. I. e. $\alpha(X)\in\Lambda^2V^*$. Ahora aplicar la inversa de mapa de $\sharp\colon V^*\to V$ para el primer tensor de factor, tenemos $\beta(X)=(\sharp\wedge\operatorname{id})\circ\alpha(X)\in V\wedge V^*$. Para hacer esta construcción un poco más concreto, se observa que dado un parámetro del grupo de rotaciones en el plano fijo por dos vectores $v,w$, uno puede comprobar que la correspondiente Mentira elemento del grupo es $\beta(X)=w\wedge v^\flat$.
4. Se aplican $\sharp$ para el segundo tensor de factor para obtener un elemento de la norma exterior álgebra $\gamma(X)=(\operatorname{id}\wedge\sharp)\circ\beta(X)\in\Lambda^2V$.
5. Aplicar la estrella de Hodge operador para obtener un elemento del espacio vectorial $\delta(X)=*\gamma(X)\in V.$
6. Compruebe que $\delta$ es un isomorfismo de álgebras de Lie $\delta([X,Y])=\delta(X)\times\delta(Y)=*(\delta(X)\wedge\delta(Y))$ (Claramente es lineal. Supongo que también debe ser verificado que $\delta$ es bijective)

Así que tengo varios problemas.

1. Paso 2 anterior parece muy complicado y poco elegante, con toda la subida y bajada de los operadores sólo para comprobar si algo es un antisimétrica mapa.
2. El paso 2 no es sólo complicada, pero de dudosa construcción. Generalmente se considera la potencia exterior de un espacio vectorial con sí mismo, no un espacio vectorial de cuña con su espacio dual. Que la construcción parece no estándar a mí, así que estoy en un territorio desconocido, y se preguntan si este es el camino equivocado.
3. Realmente no puedo ver cómo hacer el paso 6. Yo no puedo empujar la Mentira de soporte a través de todos estos opaco construcciones.
4. El $\operatorname{eval}$ mapa utilizado en el paso 2, también es un poco misterioso, al menos en una dirección. Es decir, no hay realmente sólo una inyección canónica $\operatorname{eval}\colon V\otimes V^*\to \operatorname{End}(V)$$v\otimes\sigma\mapsto (w\mapsto \sigma(w)v)$. En el caso de que $V$ no es finito dimensional, esto no será un isomorfismo y no tiene un inverso. En el finito dimensionales caso, tenemos una inversa, cualquier endomorfismo se puede escribir como un producto de vectores y vectores duales, pero no canónicamente. La asignación de $\mathfrak{so}(V)$ $\Lambda^2(V)$parece exigir como un paso intermedio asignación de $\operatorname{End}(V)$$V\otimes V^*$. Se puede hacer esto canónicamente?
5. Dadas las preocupaciones acerca de la dirección del mapa de $V\otimes V^*\to \operatorname{End}(V)$, tal vez debería intentar ir a otro lado, pero no puedo hacer ningún progreso, de esa manera, porque yo no conozco a ninguna de identidad de la estrella de Hodge operador que me va a permitir evaluar expresiones como $*(X\wedge Y)$. ¿Cómo funciona la estrella de Hodge operador interactuar con la cuña de productos?

Esos son los problemas que me estoy quedando con mi enfoque. Yo había esperado la agradecería cualquier resoluciones a los problemas, o, alternativamente, si hay una mejor aproximación a esta cuestión, o algunas de las razones por la pregunta en sí misma no es buena, me encantaría oír acerca de él. Gracias.

Answer 1

1. Enrevesada y poco elegante se encuentra en el ojo del espectador. Una vez que te acostumbras a identificar en su cabeza todo lo que es relacionado por una elevación o descenso del operador de que las cosas no son tan malas.

2. $V$ es un producto interior espacio, por lo $V \otimes V^{\ast}$ puede ser canónicamente identificado con tanto $V \otimes V$$V^{\ast} \otimes V^{\ast}$.

3. Tengo algunas ideas de cómo hacer esto, pero no son especialmente agradables. Es una forma de utilizar la teoría de la representación de $\text{SO}(V)$. Porque todo lo que has hecho es canónica, es todo $\text{SO}(V)$-equivariant. $V$ es una representación irreducible, por lo que se deduce por Schur del lema que cualquiera de los dos isomorphisms $\Lambda^2(V) \to V$ son un escalar múltiples de cada uno de los otros. En particular, la Mentira de soporte y el exterior del producto son múltiplos escalares de cada uno de los otros, y a partir de aquí, probablemente, puede terminar por argumentando el uso interno de los productos.

4. La inversa de una canónica mapa, cuando la inversa existe, también es canónica.

5. Ver arriba.

Answer 2

Este problema es casi trivial en el índice de notación, no se porque, pasando el índice de notación implica el escoger una base, pero simplemente porque es mucho más fácil expresar los correspondientes mapas en esa notación. Por ejemplo, en los comentarios a Qiaochu la respuesta de definir la iso $\Lambda^2V\rightarrow\mathfrak{so}(3)$ $a\wedge b\mapsto a\otimes b^\flat-b\otimes a^\flat$ y utilizando el hecho de que cada elemento de a $\Lambda^2V$ es de la forma $a\wedge b$ algunos $a$ $b$ (en la dimensión $>3$ tendríamos que escribir "la suma de los elementos de la forma..."). Pero en el índice de notación que acaba de dejar la métrica ser $g_{ab}$ y escribir $X^{ab}\mapsto X^{ac}g_{cb}$, sin la necesidad de pasar a una descomposición en simple tensores.

El hecho clave en la prueba utilizando el índice de notación es que $$\Omega_{abc}\Omega^{cde}=\delta^d_a\delta^e_b-\delta^e_a\delta^d_b$$ donde $\Omega_{abc}$ es la forma de volumen (por lo general, nos gustaría escribir $\varepsilon_{abc}$) y $\Omega^{abc}$ es el volumen correspondiente formulario en el espacio dual (o, equivalentemente, justo lo que usted consigue cuando usted rase todos los índices de $\Omega_{abc}$ el (inversa) de la métrica).

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Si queremos darle un índice libre de la prueba que vamos a necesitar algo equivalente a la anterior identidad. Esta resulta ser una fórmula para el producto exterior de los duales de algunas cosas $$*(a\wedge b)\wedge*(c\wedge d)=a\wedge d\langle b,c\rangle-a\wedge c\langle b,d\rangle-b\wedge d\langle b,c\rangle+b\wedge c\langle a,d\rangle$$ (¡Advertencia! Funciona sólo en la dimensión $=3$)

Si tomamos $x,y\in V$ $\Lambda^2V$ se asignan a $*x,*y$. Con el fin de asignar estos a $\mathfrak{so}(3)$ necesitamos para que los represente como $*x=a\wedge b$$*y=c\wedge d$. A continuación, estas mapa a $\mathfrak{so}(3)$ dar $a\otimes b^\flat-b\otimes a^\flat$$c\otimes d^\flat-d\otimes c^\flat$. Podemos tomar su Mentira soporte en $\operatorname{End}(V)$, consiguiendo $8$ lo que se refiere a la primera de las cuales es $$(a\otimes b^\flat)\circ(c\otimes d^\flat)=a\otimes d^\flat\langle b,c\rangle.$$ Si usted escribe estas $8$ términos podrás ver que ellos son la imagen de nuestra iso de $\Lambda^2V$ de $$a\wedge d\langle b,c\rangle-a\wedge c\langle b,d\rangle-b\wedge d\langle b,c\rangle+b\wedge c\langle a,d\rangle$$ que por nuestro encima de identidad es $$*(a\wedge b)\wedge*(c\wedge d)=x\wedge y$$. Asignación de vuelta a $V$ $\Lambda^2V$ da $*(x\wedge y)$, que es el producto cruzado!

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Entonces, ¿dónde nuestra identidad anterior? No sé. Me lo acaba de probar utilizando el índice de notación. La forma general es la siguiente:

Estamos trabajando en la dimensión $n$ y queremos saber $$*(a_1\wedge\dots\wedge a_p)\wedge*(b_1\wedge\dots\wedge b_q).$$ Deje $k=p+q-n$. Deje $P=\{1,\dots,p\}$$Q=\{1,\dots,p\}$. Para $K\subseteq P$ definir $a_K$ $$a_{k_1}\wedge\dots\wedge a_{k_K}$$ donde $k_1,\dots,k_K$ son los elementos de $K$ en el tamaño de la orden. También, definir $\Sigma K$ a la suma de los elementos de $K$. Del mismo modo $b_L$$\Sigma L$$L\subseteq Q$.

Entonces $$*(a_1\wedge\dots\wedge a_p)\wedge*(b_1\wedge\dots\wedge b_q)=\sum_{|K|=k}\sum_{|L|=k}(-1)^{\Sigma K+\Sigma L}a_{P\setminus K}\wedge b_{Q\setminus L}\left\langle a_K,b_L\right\rangle$$ donde el producto interior es inducida en $\Lambda^kV$ el de $V$.

Puedo probar esta fórmula utilizando el índice de notación, pero, sorprendentemente, no puedo encontrar ninguna referencia. Tal vez voy a hacer una pregunta a ver si alguien lo reconoce y tal vez van a ser capaces de dar un índice libre de la prueba.