La continuidad de la normalización de vector de desplazamiento para una suave curva cerrada

Question

Actualmente estoy trabajando en el capítulo 3.12 de "Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Dinámicos" por Lawrence Perko. Estoy atascado en la continuidad de la función $g$ en el Teorema 3. Mi trabajo (hasta la prueba de continuidad basado en Perko con un poco de notación diferente) hasta el momento:

Supongamos que $f\in C^1(E)$ donde $E$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ y $E$ contiene un ciclo de $\Gamma$ del sistema de $\dot{x}=f(x) \quad(1)$.

En cualquier punto de $x\in\Gamma$, definir el vector unitario $u(x)=f(x)/|f(x)|$. Podemos suponer que $\Gamma$ se encuentra en el primer cuadrante y es tangente a la $x$-eje en algún punto de $(x_0,0),x_0>0$ (de lo contrario traducir y girar el eje). Deje $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ ser la solución de $(1)$ a través del punto de $(x_0,0)$ tiempo $t=0$. Podemos suponer que $\Gamma$ es de orientación positiva y que el período de $\Gamma$ es igual a $1$, por lo que \begin{align*}\Gamma=\{\gamma(t)=(x(t),y(t))\in\mathbb{R}^2~|~0\leq t\leq 1\}.\end{align*}

Deje $T=\{(s,t)\in\mathbb{R}^2~|~0\leq s\leq t\leq 1\}$, $(s,t)\in T$ definimos el vector de campo $g$ por \begin{align*}&g(s,s)=u(\gamma(s)), & 0\leq s\leq 1 \\ &g(0,1)=-u(\gamma(0)), & \\ &g(s,t)=\frac{\gamma(t)-\gamma(s)}{|\gamma(t)-\gamma(s)|}, & 0\leq s < t \leq 1\end{align*}

Ahora Perko estados, que $g$ es continua en a$T$$g\neq 0$$T$.

Está claro que $g$ es continua en a $\tilde{T}:=T\setminus\{(s,t)\in T~|~s=t \vee (s,t)=(0,1)\}$. Deje $(s_n,t_n)\rightarrow (s,s),0\leq s\leq 1$. Uno puede mostrar que \begin{align*}g(s_n,t_n)=\frac{\gamma(t_n)-\gamma(s_n)}{|\gamma(t_n)-\gamma(s_n)|}=\frac{\frac{\gamma(t_n)-\gamma(s_n)}{t_n-s_n}}{\frac{|\gamma(t_n)-\gamma(s_n)|}{t_n-s_n}}\stackrel{s_n<t_n}{=}\frac{\frac{\gamma(t_n)-\gamma(s_n)}{t_n-s_n}}{\left|\frac{\gamma(t_n)-\gamma(s_n)}{t_n-s_n}\right|}\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow} \frac{\dot{\gamma(s)}}{|\dot{\gamma(s)}|}\stackrel{\dot{\gamma}=f(\gamma)}{=}u(\gamma(s)).\end{align*} Ahora tengo problemas para demostrar la continuidad de la $g$$(0,1)$. He subido un pdf con las cifras del problema (es posible acoplar directamente a este post?), sólo por "mirar", uno podría decir que $g(s,t)\rightarrow -u(\gamma(0))$$(s,t)\rightarrow (0,1)$, pero no la puedo encontrar una manera de demostrarlo. El aporte se agradece!

Answer 1

La mejor manera de evitar complicaciones en los extremos no extremos. La función de $\gamma$ es continuamente diferenciable y $1$-periódico en todos los de $\mathbb{R}$. Deje $\tilde t = t-1$. Como $t\to 1$, $$\frac{\gamma(t)-\gamma(s)}{|\gamma(t)-\gamma(s)|} = \frac{\gamma(\tilde t)-\gamma(s)}{|\gamma(\tilde t)-\gamma(s)|} \\gamma'(0)$$ debido a que tanto $\tilde t$ $s$ convergen a $0$ de tal manera que $\tilde t<s$.

Los detalles son exactamente como en la computación, excepto por la inversión de la desigualdad entre los $s_n$$t_n$.