Para todos los $f:\mathbb N\to\{1,2,3,\ldots,100\}$, Si $f$ es una correspondencia uno a uno, A continuación, $f^{-1}(2)=3$
Parece como si esta no debe ser una afirmación válida, ya que la implicación no siendo una instrucción cuando la hipótesis se convierte en falsa. Esto es porque cuando $f$ no es uno a uno y sobre, la sintaxis $f^{-1}(2)$ es indefinido. Así, la implicación en un todo se convierte en indefinido en virtud de tal condición. ¿Es esto cierto?
Un instructor le preguntó a la clase si todos los teléfonos celulares en el aula se apagan.
Si por alguna casualidad, no hay teléfonos celulares en el salón de clases, entonces la respuesta es "sí". "Sí" significa que no hay vuelta-en teléfonos celulares en el aula.
Lo mismo aquí: hay no uno-a-uno correspondencias de $\mathbb N$ a un conjunto de sólo $100$ de los miembros; por lo tanto, cualquier declaración que usted puede hacer acerca de esta correspondencia es cierto.
La cuestión es más complicada que un simple ex falso quodlibet. Si la secuencia de letras que tiene sentido en absoluto, entonces es cierto, ya que no hay uno-a-uno la función $\mathbb{N}\rightarrow\{1, \ldots, 100\}$.
Sin embargo, no está claro si estamos hablando de una fórmula lógica. Por ejemplo, $(\exists x: x\neq x)\Rightarrow (x+\forall)$ no es una fórmula válida, en particular, no es cierto, aunque es de la forma "falsos $\Rightarrow$ algo".
El problema real es que $f^{-1}$ es una notación corta que va más allá de la esfera de la lógica formal. Podemos declarar que la $f^{-1}(a)=b$ significa que una función inversa existe y en $a$ este inversa de la función toma el valor de $b$. Si lo hacemos, entonces la afirmación es verdadera. Por otro lado, podemos ver $^{-1}$ como una operación parcial en el conjunto de funciones, es decir, la función inversa, si una función existe, y gloppidyglopp lo contrario. Cualquier declaración que implican $f^{-1}$ para una función $f$, que no es un bijection hace ni verdadera ni falsa, sino indefinido.
En este caso parece (y probablemente lo sea) como una molestia. Sin embargo, hay ejemplos del mundo real donde tal distinción no importa: ¿Cuál es el significado de la declaración de $\lim a_n\neq 0$, si el límite no existe? True, false, y no definidas, todas son opciones válidas.
La moraleja de la historia es, probablemente, que cuando la escritura de las matemáticas se debe tratar de evitar ambigüedades, y cuando la lectura de las matemáticas, usted debe tratar de obtener el significado pretendido, incluso si es diferente de la declaración formal.
"Parece como si esta no debe ser una declaración válida"
Si no es una afirmación válida, entonces "f es una correspondencia uno a uno" es verdadero y "f−1(2)=3" es falso, o ambas afirmaciones son falsas y "si p, entonces p" es falsa, donde el valor de verdad de la proposición "p" es falsa. No es el caso de que "el f"es una correspondencia uno a uno" es verdadero y "f−1(2)=3" es falso", sostiene. Tampoco es el caso que "si p, entonces p" es falsa, cuando el valor de verdad de "p" es falsa. Si lo fuera, entonces "si p, entonces p" no calificaría como una tautología. En consecuencia, la afirmación es válida.
Aquí hay dos maneras de pensar acerca de su pregunta volviendo a la filosofía de razonamiento lógico:
(1) Si tenemos la confianza de que proposicional clásica-la lógica es una consideración adecuada de la verdad-la preservación en el razonamiento matemático entonces, mirando a la verdad-tabla para el material-condicional en el clásico proposicional, lógica, vemos que el material condicional sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. $Every$ de los 3 casos restantes se va a hacer el material condicional verdadero. En este caso, tenemos un antecedente falso así que no importa lo que el valor de verdad del consecuente, es decir, no importa si $f^{-1}(2) = 3$ o no ya que el antecedente es falso ya. Esta es la idea detrás de Michael Hardy comentario.
(2) Si (1) es contrario a la intuición, como puede muy bien ser lo que es contra-intuitivo para muchas personas, luego de considerar que el $p \rightarrow q$ es lógicamente equivalente a clásicamente se habla a $\sim p \vee q$. Visto de esta manera, es falso que hay un bijection de $\mathbb{N}$ $\{1,2,3,...,100\}$o es cierto que $f^{-1}(2) = 3$. En nuestro caso, es falso que hay un bijection de $\mathbb{N}$ $\{1,2,3,...,100\}$ $\sim p$verdadera, por lo que la afirmación es válida.
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