Tengo una heurística de verificación y, posiblemente, una explicación para usted, utilizando el módulo de $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
Por lo que cualquier residuo $r$, $\bmod{~210}$ que ha $\gcd(r,210) > 1$ no va a ser el primer.
Para investigar las ecuaciones yo se formaron tres listas, y se contó el número de residuos que había a $\gcd(r,210) = 1$, que detallaré a continuación :
- Forma una lista de residuos de $x(x+1) + 1$
- Forma una lista de residuos de $x(x+1) + 3$
- Forma una lista de residuos de $x(x+1) - 15$
Por ejemplo, para hacer el primero de la lista (en Python):
z = range(1,211)
zz1 = [(x*y+1)%210 for x in z for y in z if x-y == 1]
import fractions
zz1g = [fractions.gcd(210,x) for x in zz1]
print zz1g.count(1)
Rendimientos:
99
En todos los casos el x fueron tomadas durante el residuo de sistema de $\bmod{~210}$, y los resultados fueron calculadas como el resto cuando se divide por $210$. El máximo común divisor con $210$ se calcula para cada residuo en cada una de las listas y las ocurrencias de "1" estaban contados. Las ocurrencias son :
- Lista 1, de residuos, de forma $x(x+1) + 1$, el número de $\gcd$ 1 = 99
- Lista 2, los residuos de la forma $x(x+1) + 3$, el número de $\gcd$ 1 = 42
- Lista 2, los residuos de la forma $x(x+1) - 15$, el número de $\gcd$ 1 = 42
De manera heurística de verificación para las ecuaciones se muestra. El número de "candidatos" para los números primos en la primera ecuación son casi el doble que el de las otras dos formas, que son similares. Esto refleja las proporciones relativas.
Como para una explicación más detallada, si el $\gcd$ es no 1, entonces el número ciertamente no puede ser primo. Puesto que hay más "no $1$" mayor de los divisores comunes en cualquiera de las formas $2$ o $3$ de su en $1$, de ello se sigue que, puesto que los números primos se comportan como si estuvieran distribuidos al azar entre los candidatos de los residuos, más primos se producen a partir de la forma, donde los residuos con más frecuencia de la tierra en aquellos que no tienen ningún divisor en común con $210$.
De hecho, en este caso la cuenta en $210$ apoyan firmemente los datos obtenidos a partir de una media de un millón de puntos. $210$ es un solo caso, pero la congruencia argumento enfoque más de cerca la distribución obtenida, el más grande de la suavidad obligada en el módulo.
Lo que sugiere que la suma de $k$ con el producto de los dos adyacentes enteros más a menudo se cae en un primer al $k$, tal vez, no tiene factores primos.
Espero que esto ayude.
